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数学3 応用問題 4 解説

方針・初手

(1) については、定積分を用いて回転体の体積として水の量 $V$ を深さ $h$ の式で表す。計算を簡略化するため、球の最下点を原点とするように座標軸を設定するとよい。

(2) については、時間 $t$ による微分を考える。与えられている条件は体積の増加速度 $\frac{dV}{dt}$ であり、求めるものは水面の上昇速度 $\frac{dh}{dt}$ である。合成関数の微分法（連鎖律）を用いて、$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ の関係式を立てて求める。

解法1

(1)

球形の容器の最下点を原点 $\text{O}$ とし、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。この容器は、中心 $(0, 10)$、半径 $10$ の円

$$x^2 + (y-10)^2 = 100$$

を $y$ 軸の周りに回転させてできる球として表すことができる。

水の深さが $h$ のとき、$y$ の積分区間は $0 \leqq y \leqq h$ である。高さ $y$ における水面の半径を $x$ とすると、円の方程式より

$$x^2 = 100 - (y-10)^2 = 20y - y^2$$

となる。したがって、水の体積 $V$ は断面積 $\pi x^2$ を $y$ について $0$ から $h$ まで積分することで求められる。

$$V = \int_{0}^{h} \pi x^2 dy$$

$$V = \pi \int_{0}^{h} (20y - y^2) dy$$

$$V = \pi \left[ 10y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{h}$$

$$V = \pi \left( 10h^2 - \frac{1}{3}h^3 \right)$$

よって、求める体積 $V$ は

$$V = \frac{\pi}{3}h^2(30-h)$$

(2)

時刻 $t$ における水の深さを $h$、体積を $V$ とおく。毎秒 $4 \text{ cm}^3$ の割合で水を入れるので、時間 $t$ に対する体積の変化率は

$$\frac{dV}{dt} = 4$$

である。

一方、(1) の結果より $V$ を $h$ で微分すると

$$\frac{dV}{dh} = \pi (20h - h^2)$$

となる。（これは深さ $h$ における水面の面積に等しい。）

合成関数の微分法より

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$$

が成り立つため、

$$4 = \pi(20h - h^2) \frac{dh}{dt}$$

$$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi(20h - h^2)}$$

と表せる。

水面の上昇する速度は $\frac{dh}{dt}$ であるから、$h=5$ のときの値を求める。

$$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi(20 \cdot 5 - 5^2)}$$

$$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi(100 - 25)} = \frac{4}{75\pi}$$

解説

球の一部（球欠）の体積を求める定積分の問題と、時間に対する変化率を求める微分法の基本問題が組み合わさった典型的な出題である。

(1) の体積計算では、座標軸の設定が計算の負担を大きく左右する。球の中心を原点にとることも可能だが、その場合積分区間が $-10$ から $-10+h$ となり、代入計算が煩雑になりやすい。本解法のように「深さを測る起点」である最下点を原点に設定することで、積分区間の下端を $0$ にでき、計算ミスを減らすことができる。

(2) では「速度」が時間 $t$ による微分であることを正しく認識することが重要である。問題文には時刻 $t$ という文字は明記されていないが、自分で変数を設定して $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ という連鎖律の式を立てる処理は、変化率の問題における定石である。