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数学3 応用問題 5 解説

方針・初手

(1) は、与えられた $t = \tan \frac{\theta}{2}$ を代入し、三角関数の関係式（相互関係や倍角の公式）を利用して式を整理する。

(2) は、(1) の結果を利用して媒介変数 $\theta$ を消去し、$x, y$ の方程式を導く。その際、$t$ が実数全体を動くときの $\theta$ の取りうる範囲に注意して、軌跡の限界（除外点）を調べる。

解法1

(1)

与えられた $x$ の式に $t = \tan \frac{\theta}{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} x &= \frac{1 - \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} \\ &= \frac{1 - \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}} \end{aligned}$$

分母・分子に $\cos^2 \frac{\theta}{2}$ を掛けると、

$$\begin{aligned} x &= \frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &= \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} \\ &= \cos \theta \end{aligned}$$

同様に $y$ についても計算する。

$$\begin{aligned} y &= \frac{6 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}} \\ &= \frac{6 \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}} \end{aligned}$$

分母・分子に $\cos^2 \frac{\theta}{2}$ を掛けると、

$$\begin{aligned} y &= \frac{6 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &= 6 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \\ &= 3 \left( 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \right) \\ &= 3 \sin \theta \end{aligned}$$

(2)

(1) より、点 $(x, y)$ は媒介変数 $\theta$ を用いて次のように表される。

$$\begin{cases} x = \cos \theta \\ y = 3 \sin \theta \end{cases}$$

$t$ が $-\infty$ から $+\infty$ まで実数全体を動くとき、$t = \tan \frac{\theta}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は $-\pi < \theta < \pi$ である。

上の2式より $\cos \theta = x$, $\sin \theta = \frac{y}{3}$ であり、$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ に代入して $\theta$ を消去すると、

$$x^2 + \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 1$$

$$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$$

ここで、$-\pi < \theta < \pi$ であるから、点 $(\cos \theta, 3 \sin \theta)$ は楕円 $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ 上のうち、$\theta = \pi$ に対応する点 $(-1, 0)$ を除くすべての点を動く。

したがって、求める軌跡は楕円 $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ となる（ただし、点 $(-1, 0)$ を除く）。

図示する際は、中心が原点、長軸が $y$ 軸上にあり長さが $6$、短軸が $x$ 軸上にあり長さが $2$ の楕円を描き、点 $(-1, 0)$ のみを白丸にして除外点であることを明示する。

解法2

(2) の別解（(1)を用いずに $t$ を直接消去する方法）

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を変形する。

$$x = \frac{-(1+t^2)+2}{1+t^2} = -1 + \frac{2}{1+t^2}$$

$1+t^2 \geqq 1$ より $\frac{2}{1+t^2} > 0$ であるため、$x > -1$ （すなわち $x \neq -1$）であることがわかる。

上の式を $t^2$ について解く。

$$x+1 = \frac{2}{1+t^2}$$

$$1+t^2 = \frac{2}{x+1}$$

$$t^2 = \frac{2}{x+1} - 1 = \frac{1-x}{x+1}$$

$t$ が実数全体を動くとき、$t^2 \geqq 0$ であるから、

$$\frac{1-x}{x+1} \geqq 0$$

これより、$-1 < x \leqq 1$ を得る。

次に、$y = \frac{6t}{1+t^2}$ について、$1+t^2 = \frac{2}{x+1}$ を代入する。

$$y = \frac{6t}{\frac{2}{x+1}} = 3t(x+1)$$

両辺を2乗して $t^2 = \frac{1-x}{x+1}$ を代入する。

$$y^2 = 9t^2(x+1)^2 = 9 \cdot \frac{1-x}{x+1} \cdot (x+1)^2 = 9(1-x)(x+1) = 9(1-x^2)$$

$$9x^2 + y^2 = 9$$

両辺を $9$ で割ると、

$$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$$

$x$ の範囲は $-1 < x \leqq 1$ であり、この範囲の各 $x$ に対して $t$ は実数値をとることができるため、楕円上の $x \neq -1$ を満たす全点が軌跡として現れる。

したがって、求める軌跡は楕円 $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ （ただし、点 $(-1, 0)$ を除く）となる。

解説

有理関数で表されたパラメータ表示から、円や楕円などの二次曲線を導く典型的な問題である。

$t = \tan \frac{\theta}{2}$ とおく置換は、微積分において三角関数の有理式を多項式の分数式に変換する際によく用いられる手法（ワイエルシュトラス置換）であり、この問題はその代数的な背景を軌跡の形で確認するものとなっている。

(2) において最も注意すべき点は「除外点」の存在である。$t$ が実数全体を動くとき、$t \to \pm \infty$ の極限を考えると $(x, y) \to (-1, 0)$ となるが、$t$ は有限の実数値をとりながら動くため、この極限点には決して到達しない。この点を論理的に正しく見抜き、除外できるかが正答への鍵となる。