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数学3 応用問題 6 解説

方針・初手

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ と $y=0$ を与えられた座標の式に代入し、$t$ の方程式を解く。その際、$x \geqq 0$ の条件から $t$ の符号を吟味する。
(2) $\theta$ を消去し、$x, y, t$ の関係式を作る。$\theta$ が変化するときの $(x, y)$ の存在条件は、導かれた $t$ の方程式が実数解をもつ条件に帰着できる。
(3) $\text{Q}$ の条件から $y=0$ とし、$x^2$ を $t$ の式で表して最大値を求める。その際、媒介変数の制約から $t$ の変域に注意する。

解法1

(1)

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、動点の座標は

$$\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}} t \\ y = 1 - t^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} t \end{cases}$$

点 $\text{Q}$ は曲線 $C$ が $x$ 軸の $x \geqq 0$ の部分と交わる点であるから、$y=0$ かつ $x \geqq 0$ を満たす。

第1式と $x \geqq 0$ より、$t \geqq 0$ である。

第2式より $y=0$ とすると、

$$1 - t^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} t = 0 \iff t^2 - \frac{1}{\sqrt{2}} t - 1 = 0$$

解の公式により方程式を解くと、

$$t = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{1}{2} + 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$$

$t \geqq 0$ であるから、$t = \sqrt{2}$ となる。

これを $x$ の式に代入すると、

$$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 1$$

これは $x \geqq 0$ を満たす。よって、点 $\text{Q}$ の $x$ 座標は $1$ である。

(2)

曲線 $C$ 上の点 $(x, y)$ について、

$$x = t\cos\theta, \quad t\sin\theta = y - 1 + t^2$$

が成り立つ。両辺をそれぞれ2乗して加えると、

$$x^2 + (y - 1 + t^2)^2 = (t\cos\theta)^2 + (t\sin\theta)^2 = t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = t^2$$

展開して整理すると、

$$t^4 + (2y - 3)t^2 + x^2 + (y-1)^2 = 0$$

$\theta$ が $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲を動くとき、点 $(x, y)$ が $C$ の通過領域に含まれる条件は、上の方程式を満たす実数 $t$ が存在することである。

ここで $T = t^2$ とおくと、方程式は $T$ についての2次方程式

$$T^2 + (2y - 3)T + x^2 + (y-1)^2 = 0$$

となり、これが $T \geqq 0$ において実数解をもつ条件を求めればよい。

$f(T) = T^2 + (2y - 3)T + x^2 + (y-1)^2$ とおく。

$f(0) = x^2 + (y-1)^2 \geqq 0$ であるから、$f(T) = 0$ が $T \geqq 0$ の範囲に解をもつ条件は、方程式が実数解をもち、かつその放物線の軸が $T \geqq 0$ にあることである。（$f(0) = 0$ すなわち $(x, y) = (0, 1)$ のときも、$f(T) = T^2 - T = 0$ より $T=0, 1$ となり条件を満たす）

判別式を $D$ とすると、求める条件は

$$\begin{cases} D = (2y - 3)^2 - 4\{x^2 + (y-1)^2\} \geqq 0 \\ -\frac{2y - 3}{2} \geqq 0 \end{cases}$$

第1式を展開して整理すると、

$$4y^2 - 12y + 9 - 4x^2 - 4y^2 + 8y - 4 \geqq 0$$

$$-4x^2 - 4y + 5 \geqq 0 \iff y \leqq -x^2 + \frac{5}{4}$$

第2式から、

$$2y - 3 \leqq 0 \iff y \leqq \frac{3}{2}$$

$y \leqq -x^2 + \frac{5}{4}$ が成り立つとき、常に $y \leqq \frac{5}{4} < \frac{3}{2}$ を満たすため、第2式の条件は自動的に満たされる。

よって、求める領域は不等式

$$y \leqq -x^2 + \frac{5}{4}$$

の表す領域である。図示すると、放物線 $y = -x^2 + \frac{5}{4}$ とその下側の領域であり、境界線を含む。

(3)

点 $\text{Q}$ は $C$ と $x$ 軸の $x \geqq 0$ の部分との交点であるから、

$$y = 1 - t^2 + t\sin\theta = 0$$

$$x = t\cos\theta \geqq 0$$

第1式より $t\sin\theta = t^2 - 1$ である。(2)で導いた関係式 $x^2 + (t\sin\theta)^2 = t^2$ に代入すると、

$$x^2 + (t^2 - 1)^2 = t^2$$

$$x^2 = -t^4 + 3t^2 - 1$$

$T = t^2$ ($T \geqq 0$) とおくと、

$$x^2 = -T^2 + 3T - 1 = -\left(T - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$$

$x$ が実数として存在するためには $x^2 \geqq 0$、すなわち $-T^2 + 3T - 1 \geqq 0$ でなければならない。これを解くと

$$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \leqq T \leqq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$

$T = \frac{3}{2}$ はこの範囲に含まれるため、$x^2$ は $T = \frac{3}{2}$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとる。

$x \geqq 0$ より、$x$ の最大値は $\frac{\sqrt{5}}{2}$ である。

このとき、$t^2 = \frac{3}{2}$ であるから、$t = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ となる。

(i) $t = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき

$x = t\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ より

$$\cos\theta = \frac{x}{t} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{6}$$

$t\sin\theta = t^2 - 1$ より

$$\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \iff \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$

したがって、

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

(ii) $t = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき

$x = t\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ より

$$\cos\theta = \frac{x}{t} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{-\frac{\sqrt{6}}{2}} = -\frac{\sqrt{30}}{6}$$

$t\sin\theta = t^2 - 1$ より

$$-\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\theta = \frac{1}{2} \iff \sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6}$$

したがって、

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{-\frac{\sqrt{30}}{6}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

いずれの場合も $\tan\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$ となる。

解説

媒介変数表示された曲線の通過領域と最大値を求める問題である。 (2) は $\theta$ を消去して $t$ についての方程式とみなし、それが実数解をもつ条件（判別式など）に帰着させる典型的な処理である。 (3) は $x$ と $t$ の関係式を導出し、$x^2$ の2次関数として最大値を考える手法が有効である。$\tan\theta$ を求める際、$t$ の符号によって $\sin\theta, \cos\theta$ の符号が変わる点に注意して場合分けを行うと論理の飛躍がない。