数学3 応用 問題 7 解説

方針・初手

点 $\mathrm{P}(x(t), y(t))$ の位置ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (x(t), y(t))$ に対して、速度ベクトル $\vec{v}$ は各成分を媒介変数 $t$ で微分した $\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$ として定義される。積の微分法を用いて $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算し、ベクトルの大きさの定義 $|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$ に従って計算を進める。

解法1

与えられた $x(t) = e^{at} \cos t$ を $t$ で微分すると、積の微分法により以下のようになる。

$$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= (e^{at})' \cos t + e^{at} (\cos t)' \\ &= a e^{at} \cos t - e^{at} \sin t \\ &= e^{at} (a \cos t - \sin t) \end{aligned}$$

同様に、$y(t) = e^{at} \sin t$ を $t$ で微分すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= (e^{at})' \sin t + e^{at} (\sin t)' \\ &= a e^{at} \sin t + e^{at} \cos t \\ &= e^{at} (a \sin t + \cos t) \end{aligned}$$

速度ベクトル $\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$ の大きさの2乗 $|\vec{v}|^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 \\ &= \left\{ e^{at} (a \cos t - \sin t) \right\}^2 + \left\{ e^{at} (a \sin t + \cos t) \right\}^2 \\ &= e^{2at} \left( a^2 \cos^2 t - 2a \sin t \cos t + \sin^2 t \right) + e^{2at} \left( a^2 \sin^2 t + 2a \sin t \cos t + \cos^2 t \right) \\ &= e^{2at} \left\{ a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + (\sin^2 t + \cos^2 t) \right\} \end{aligned}$$

ここで、三角関数の基本公式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ を用いると、

$$|\vec{v}|^2 = e^{2at} (a^2 + 1)$$

となる。$|\vec{v}| \geqq 0$ であり、$e^{at} > 0$ であるため、平方根をとって整理する。

$$|\vec{v}| = e^{at} \sqrt{a^2 + 1}$$

解説

媒介変数表示された曲線の速度ベクトルの大きさを求める基本的な計算問題である。積の微分法を正確に適用し、式を展開して整理する過程で $-2a \sin t \cos t$ と $2a \sin t \cos t$ が打ち消し合うことに気づけば容易に求まる。

この曲線は対数螺旋（等角螺旋）と呼ばれる有名な曲線であり、速度ベクトルの大きさが原点からの距離（$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}| = e^{at}$）に比例するという幾何学的な性質を持っている。

答え

$$e^{at} \sqrt{a^2 + 1}$$