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数学3 応用問題 11 解説

方針・初手

(1) 求める体積 $V$ は、曲線 $x^2 = y+1$ と $y$ 軸、直線 $y=h$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積である。積分公式 $V = \pi \int_0^h x^2 \, dy$ を用いる。

(2) 毎秒 $2\pi$ の割合で水を注入するため、注入し始めてから $t$ 秒後の水の体積は $V = 2\pi t$ となる。満水時の高さ $h$ を求めて $V$ を計算し、$t$ の方程式を解く。

(3) 求める速度は $\frac{dh}{dt}$ である。合成関数の微分法（連鎖律） $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ を利用して $\frac{dh}{dt}$ を $h$ の式で表し、$t=6$ のときの $h$ の値を代入する。

解法1

(1)

$1 \leqq x \leqq 3$ において $y = x^2 - 1$ であるから、$x^2 = y + 1$ このとき、$x$ の変域から $0 \leqq y \leqq 8$ である。

高さが $h$ ($0 \leqq h \leqq 8$) のときの水の体積 $V$ は、曲線 $x^2 = y + 1$ と $y$ 軸、直線 $y=h$ によって囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積であるから、

$$V = \pi \int_{0}^{h} x^2 \, dy$$

$$V = \pi \int_{0}^{h} (y + 1) \, dy$$

$$V = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 + y \right]_{0}^{h}$$

$$V = \frac{\pi}{2}(h^2 + 2h)$$

(2)

容器が水で満たされるのは水面の高さが最大になるとき、すなわち $h=8$ に達したときである。

このときの体積は、(1) の結果に $h=8$ を代入して、

$$V = \frac{\pi}{2}(8^2 + 2 \cdot 8) = \frac{\pi}{2}(64 + 16) = 40\pi$$

毎秒 $2\pi$ の割合で水を注入しているため、$t$ 秒後の体積 $V$ は $V = 2\pi t$ と表せる。満水時の体積が $40\pi$ であるから、

$$2\pi t = 40\pi$$

これを解いて $t = 20$

よって、20秒後である。

(3)

$V = 2\pi t$ の両辺を $t$ で微分すると、

$$\frac{dV}{dt} = 2\pi$$

また、(1) の結果より $V = \frac{\pi}{2}(h^2 + 2h)$ であり、両辺を $h$ で微分すると、

$$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{2}(2h + 2) = \pi(h + 1)$$

合成関数の微分法により $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ が成り立つから、

$$2\pi = \pi(h + 1) \frac{dh}{dt}$$

$h \geqq 0$ より $h+1 \neq 0$ であるため、両辺を割って

$$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{h + 1}$$

次に、$t=6$ のときの $h$ を求める。 $V = 2\pi t$ より、$t=6$ のときの体積は $V = 12\pi$ である。これを (1) の式に代入して、

$$\frac{\pi}{2}(h^2 + 2h) = 12\pi$$

$$h^2 + 2h - 24 = 0$$

$$(h + 6)(h - 4) = 0$$

$h \geqq 0$ より $h = 4$

したがって、$t=6$ すなわち $h=4$ のときの水面の上昇する速度 $\frac{dh}{dt}$ は、

$$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5}$$

解説

回転体の体積と、時間の経過に伴う変化率（微分）を組み合わせた典型的な微積分・物理応用の融合問題である。

(1) では $x^2$ を $y$ の式で表して $y$ で積分する基本操作が求められる。

(3) の「水面の上昇する速度」は $\frac{dh}{dt}$ のことを指す。時間 $t$ を媒介変数とする変化率の問題では、$V$ を $t$ と $h$ のそれぞれで微分し、連鎖律 $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}$ を用いて結びつける手法が極めて有効である。これを直接 $h$ を $t$ の式で表して $t$ で微分しようとすると計算が煩雑になるため、合成関数の微分を活用したい。