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数学3 応用問題 14 解説

方針・初手

媒介変数 $t$ で表された点 $\text{P}$ の座標から $t$ を消去し、点 $\text{P}$ の描く軌跡の方程式を求めます。速度ベクトル、加速度ベクトルはそれぞれ位置ベクトルを $t$ で微分、2階微分することで得られます。ベクトルの大きさの最大・最小については、三角関数の公式を用いて１つの変数（例えば $\sin^2 t$ や $\cos 2t$ など）の関数に帰着させ、平方完成によって求めます。

解法1

点 $\text{P}$ の座標は、次のように表されている。

$$\begin{cases} x = \sin t \\ y = \frac{1}{2} \cos 2t \end{cases}$$

第2式に2倍角の公式 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$ を用いると、

$$y = \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 t) = \frac{1}{2} - \sin^2 t$$

これに第1式の $x = \sin t$ を代入すると、

$$y = \frac{1}{2} - x^2$$

これを $y + (x^2 - \frac{1}{2}) = 0$ と変形できるため、点 $\text{P}$ は曲線 $y + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) = 0$ 上を動く。よって、$[\text{ツ}]$ は $x^2 - \frac{1}{2}$ である。

次に、点 $\text{P}$ の速度ベクトル $\vec{v}$ を求める。$x, y$ をそれぞれ $t$ で微分して、

$$\frac{dx}{dt} = \cos t$$

$$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2t) \cdot 2 = -\sin 2t$$

よって、速度ベクトルは $\vec{v} = (\cos t, -\sin 2t)$ となる。したがって、$[\text{テ}]$ は $\cos t$、$[\text{ト}]$ は $-\sin 2t$ である。

さらに、加速度ベクトル $\vec{\alpha}$ を求めるため、速度ベクトルを $t$ で微分する。

$$\frac{d^2 x}{dt^2} = -\sin t$$

$$\frac{d^2 y}{dt^2} = -\cos 2t \cdot 2 = -2\cos 2t$$

よって、加速度ベクトルは $\vec{\alpha} = (-\sin t, -2\cos 2t)$ となる。したがって、$[\text{ナ}]$ は $-\sin t$、$[\text{ニ}]$ は $-2\cos 2t$ である。

次に、速さ $|\vec{v}|$ が $0$ になるときの点 $\text{P}$ の位置を求める。

$$|\vec{v}|^2 = \cos^2 t + (-\sin 2t)^2 = \cos^2 t + \sin^2 2t$$

ここで $\sin 2t = 2\sin t \cos t$ を用いると、

$$|\vec{v}|^2 = \cos^2 t + 4\sin^2 t \cos^2 t = \cos^2 t (1 + 4\sin^2 t)$$

$|\vec{v}| = 0$ となるのは $|\vec{v}|^2 = 0$ のときであり、常に $1 + 4\sin^2 t \geqq 1 > 0$ であるから、$\cos^2 t = 0$、すなわち $\cos t = 0$ となる。

$\cos t = 0$ のとき、$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1$ より $\sin t = 1$ または $\sin t = -1$ である。 $\sin t = 1$ のとき、点 $\text{P}$ の座標は $(1, -\frac{1}{2})$。 $\sin t = -1$ のとき、点 $\text{P}$ の座標は $(-1, -\frac{1}{2})$。 $[\text{ヌ}] > [\text{ノ}]$ の条件より、点 $\text{Q}$ の $x$ 座標が大きい方となるので、$\text{Q}\left(1, -\frac{1}{2}\right)$、$\text{R}\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$ である。よって、$[\text{ヌ}] = 1$、$[\text{ネ}] = -\frac{1}{2}$、$[\text{ノ}] = -1$、$[\text{ハ}] = -\frac{1}{2}$ である。

定点 $\text{Q}(1, -\frac{1}{2})$ を通るのは $\sin t = 1$ のときであり、これを満たす $t$ は $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ （$k$ は整数）と表せる。 $0 \leqq t \leqq 30$ の範囲にある $t$ を考える。

$$0 \leqq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqq 30$$

各辺を $\pi$ で割り、整理する。

$$0 \leqq \frac{1}{2} + 2k \leqq \frac{30}{\pi}$$

$$-\frac{1}{4} \leqq k \leqq \frac{15}{\pi} - \frac{1}{4}$$

$\pi \fallingdotseq 3.14$ より、$\frac{15}{3.14} \fallingdotseq 4.77$ であるから、$\frac{15}{\pi} - \frac{1}{4} \fallingdotseq 4.77 - 0.25 = 4.52$ となる。これを満たす整数 $k$ は $k = 0, 1, 2, 3, 4$ の $5$ 個存在する。よって、$0 \leqq t \leqq 30$ において点 $\text{P}$ は定点 $\text{Q}$ を $5$ 回通る。したがって、$[\text{ヒ}] = 5$ である。

次に、$|\vec{v}|$ の最大値を求める。

$$|\vec{v}|^2 = \cos^2 t (1 + 4\sin^2 t) = (1 - \sin^2 t)(1 + 4\sin^2 t)$$

$u = \sin^2 t$ とおくと、実数 $t$ に対して $0 \leqq u \leqq 1$ である。$|\vec{v}|^2$ を $f(u)$ とおくと、

$$f(u) = (1 - u)(1 + 4u) = -4u^2 + 3u + 1$$

平方完成すると、

$$f(u) = -4\left( u^2 - \frac{3}{4}u \right) + 1 = -4\left( u - \frac{3}{8} \right)^2 + \frac{9}{4} + 1 = -4\left( u - \frac{3}{8} \right)^2 + \frac{25}{16}$$

$0 \leqq u \leqq 1$ において、$f(u)$ は $u = \frac{3}{8}$ のとき最大値 $\frac{25}{16}$ をとる。 $|\vec{v}| \geqq 0$ であるから、$|\vec{v}|$ の最大値は $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ である。したがって、$[\text{フ}] = \frac{5}{4}$ である。

最後に、加速度の大きさ $|\vec{\alpha}|$ の最小値を求める。

$$|\vec{\alpha}|^2 = (-\sin t)^2 + (-2\cos 2t)^2 = \sin^2 t + 4\cos^2 2t$$

半角の公式より $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ であるから、

$$|\vec{\alpha}|^2 = \frac{1 - \cos 2t}{2} + 4\cos^2 2t$$

$w = \cos 2t$ とおくと、実数 $t$ に対して $-1 \leqq w \leqq 1$ である。$|\vec{\alpha}|^2$ を $g(w)$ とおくと、

$$g(w) = \frac{1 - w}{2} + 4w^2 = 4w^2 - \frac{1}{2}w + \frac{1}{2}$$

平方完成すると、

$$g(w) = 4\left( w^2 - \frac{1}{8}w \right) + \frac{1}{2} = 4\left( w - \frac{1}{16} \right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{256} + \frac{1}{2} = 4\left( w - \frac{1}{16} \right)^2 + \frac{31}{64}$$

$-1 \leqq w \leqq 1$ において、$g(w)$ は $w = \frac{1}{16}$ のとき最小値 $\frac{31}{64}$ をとる。 $|\vec{\alpha}| \geqq 0$ であるから、$|\vec{\alpha}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{31}{64}} = \frac{\sqrt{31}}{8}$ である。したがって、$[\text{へ}] = \frac{\sqrt{31}}{8}$ である。

解説

媒介変数表示された曲線の微分と、平面上の運動における速度・加速度ベクトルの基本的な定義を問う問題です。三角関数の相互関係や倍角・半角の公式を活用して式を整理する力が求められます。関数の最大・最小を求める場面では、変数の置き換え（$\sin^2 t$ や $\cos 2t$ など）を行って2次関数に帰着させます。このとき、置き換えた文字の取りうる値の範囲（定義域）に注意して最大値・最小値の吟味を行うことが重要です。また、$30$ といった具体的な数値を弧度法の $\pi$ と比較する部分は、円周率の近似値を用いるなどして不等式を評価する定番の手法です。