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数学3 応用問題 15 解説

方針・初手

点 $\text{P}$ の座標が媒介変数 $t$ で表されているため、定義に従って $t$ で微分し、速度ベクトルと加速度ベクトルの成分を求める。ベクトル同士のなす角は、内積と大きさから $\cos \theta$ を計算して求めるのが定石である。また、速度ベクトルと加速度ベクトルの成分を、元の点 $\text{P}$ の座標 $x, y$ を用いて表すことで、幾何学的な意味が見えやすくなり、計算を大幅に削減できる。

解法1

(1) 点 $\text{P}$ の座標は $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ である。 $t$ について微分すると、積の微分法より

$$\frac{dx}{dt} = e^t \cos t + e^t (-\sin t) = e^t (\cos t - \sin t)$$

$$\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$$

よって、速度ベクトル $\vec{v}$ は

$$\vec{v} = \left( e^t (\cos t - \sin t), e^t (\sin t + \cos t) \right)$$

さらに $t$ について微分すると

$$\frac{d^2x}{dt^2} = e^t (\cos t - \sin t) + e^t (-\sin t - \cos t) = -2e^t \sin t$$

$$\frac{d^2y}{dt^2} = e^t (\sin t + \cos t) + e^t (\cos t - \sin t) = 2e^t \cos t$$

よって、加速度ベクトル $\vec{a}$ は

$$\vec{a} = (-2e^t \sin t, 2e^t \cos t)$$

(2) $\overrightarrow{\text{OP}} = (e^t \cos t, e^t \sin t)$ であり、その大きさは

$$|\overrightarrow{\text{OP}}| = \sqrt{(e^t \cos t)^2 + (e^t \sin t)^2} = \sqrt{e^{2t}(\cos^2 t + \sin^2 t)} = e^t$$

$\vec{v}$ の大きさは

$$\begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\left\{e^t (\cos t - \sin t)\right\}^2 + \left\{e^t (\sin t + \cos t)\right\}^2} \\ &= e^t \sqrt{(\cos^2 t - 2\sin t \cos t + \sin^2 t) + (\sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t)} \\ &= e^t \sqrt{2} \end{aligned}$$

$\overrightarrow{\text{OP}}$ と $\vec{v}$ の内積は

$$\begin{aligned} \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \vec{v} &= e^t \cos t \cdot e^t (\cos t - \sin t) + e^t \sin t \cdot e^t (\sin t + \cos t) \\ &= e^{2t} (\cos^2 t - \sin t \cos t + \sin^2 t + \sin t \cos t) \\ &= e^{2t} (\cos^2 t + \sin^2 t) \\ &= e^{2t} \end{aligned}$$

したがって、$\overrightarrow{\text{OP}}$ と $\vec{v}$ のなす角 $\theta_1$ について

$$\cos \theta_1 = \frac{\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \vec{v}}{|\overrightarrow{\text{OP}}| |\vec{v}|} = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot \sqrt{2}e^t} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 \leqq \theta_1 \leqq \pi$ であるから

$$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$$

次に、$\vec{a}$ の大きさは

$$|\vec{a}| = \sqrt{(-2e^t \sin t)^2 + (2e^t \cos t)^2} = \sqrt{4e^{2t}(\sin^2 t + \cos^2 t)} = 2e^t$$

$\overrightarrow{\text{OP}}$ と $\vec{a}$ の内積は

$$\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \vec{a} = e^t \cos t \cdot (-2e^t \sin t) + e^t \sin t \cdot 2e^t \cos t = 0$$

$|\overrightarrow{\text{OP}}| > 0$ かつ $|\vec{a}| > 0$ であり、内積が $0$ であるから、$\overrightarrow{\text{OP}}$ と $\vec{a}$ は垂直である。 $0 \leqq \theta_2 \leqq \pi$ であるから

$$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$$

(3) (2) より $|\vec{v}| = \sqrt{2}e^t$ であるから、求める定積分は

$$\int_0^T |\vec{v}| dt = \int_0^T \sqrt{2}e^t dt = \sqrt{2} \left[ e^t \right]_0^T = \sqrt{2}(e^T - 1)$$

解法2

(1) $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ を $t$ で微分すると

$$\frac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = x - y$$

$$\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = y + x = x + y$$

よって、速度ベクトル $\vec{v}$ は

$$\vec{v} = (x - y, x + y) = \left( e^t (\cos t - \sin t), e^t (\sin t + \cos t) \right)$$

さらに $t$ で微分すると

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(x - y) = \frac{dx}{dt} - \frac{dy}{dt} = (x - y) - (x + y) = -2y$$

$$\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(x + y) = \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = (x - y) + (x + y) = 2x$$

よって、加速度ベクトル $\vec{a}$ は

$$\vec{a} = (-2y, 2x) = (-2e^t \sin t, 2e^t \cos t)$$

(2) 位置ベクトルを $\vec{p} = \overrightarrow{\text{OP}} = (x, y)$ とおく。ベクトル $\vec{q} = (-y, x)$ を考えると、$\vec{p} \cdot \vec{q} = -xy + yx = 0$ であり、大きさが $|\vec{p}| = |\vec{q}| = \sqrt{x^2+y^2}$ であるから、$\vec{q}$ は $\vec{p}$ を原点中心に $\frac{\pi}{2}$ 回転させたベクトルである。

(1) より、$\vec{v} = (x, y) + (-y, x) = \vec{p} + \vec{q}$ と表せる。 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ は直交し、長さが等しいため、$\vec{p}$ と $\vec{q}$ を隣り合う2辺とする平行四辺形は正方形となる。$\vec{v}$ はその対角線ベクトルであるから、$\vec{p}$ と $\vec{v}$ のなす角 $\theta_1$ は

$$\theta_1 = \frac{\pi}{4}$$

また、$\vec{a} = (-2y, 2x) = 2(-y, x) = 2\vec{q}$ と表せる。 $\vec{a}$ は $\vec{q}$ と同じ向きのベクトルであり、$\vec{p} \perp \vec{q}$ であるから、$\vec{p}$ と $\vec{a}$ のなす角 $\theta_2$ は

$$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$$

(3) (2) の考察より、$\vec{v}$ は1辺の長さが $|\vec{p}| = \sqrt{x^2+y^2} = e^t$ の正方形の対角線の長さを持つから

$$|\vec{v}| = \sqrt{2}|\vec{p}| = \sqrt{2}e^t$$

よって、求める定積分は

$$\int_0^T |\vec{v}| dt = \int_0^T \sqrt{2}e^t dt = \sqrt{2} \left[ e^t \right]_0^T = \sqrt{2}(e^T - 1)$$

解説

対数螺旋（等角螺旋）の運動に関する典型問題である。動径方向と速度ベクトルのなす角が常に一定になるという特徴的な性質を持つ。成分を素直に計算して内積から角度を求める「解法1」が最も確実なアプローチだが、ベクトルの成分をよく観察し、位置ベクトル $(x,y)$ とその法線ベクトル $(-y,x)$ の線形結合として $\vec{v}$ や $\vec{a}$ を表現する「解法2」に気づくと、計算量を劇的に減らすことができる。複素数平面における微分として $z(t) = e^{(1+i)t}$ を考えるアプローチも、回転と拡大の様子が明白になるため有効である。