数学3 最大最小・解の個数問題 5 解説

方針・初手

点Pの座標を変数でおき、点Pと直線 $y=x$ との距離に着目する。点Pと直線 $y=x$ に関して対称な点P'を結ぶ線分PP'の長さは、点Pと直線 $y=x$ との距離の2倍となる。これを用いて距離の式を立式し、微分法を用いて最大値と最小値を求める。

解法1

点Pは曲線 $2\cos x + y + 1 = 0$ すなわち $y = -2\cos x - 1$ $(0 \leqq x \leqq \pi)$ 上にあるため、その座標を $(t, -2\cos t - 1)$ $(0 \leqq t \leqq \pi)$ とおく。

点Pと直線 $y=x$ すなわち $x - y = 0$ との距離を $d$ とすると、点と直線の距離の公式より

$$d = \frac{|t - (-2\cos t - 1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|t + 2\cos t + 1|}{\sqrt{2}}$$

となる。点Pと点P'は直線 $y=x$ に関して対称であるから、線分PP'の長さ $L$ は $d$ の2倍に等しい。よって、

$$L = 2d = \sqrt{2} |t + 2\cos t + 1|$$

ここで、$f(t) = t + 2\cos t + 1$ $(0 \leqq t \leqq \pi)$ とおき、この関数の増減を調べる。

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$f'(t) = 1 - 2\sin t$$

$f'(t) = 0$ となる $t$ の値は、$\sin t = \frac{1}{2}$ より、$0 \leqq t \leqq \pi$ の範囲で

$$t = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi$$

$f(t)$ の増減は以下のようになる。

$0 \leqq t < \frac{\pi}{6}$ のとき、$f'(t) > 0$ より単調増加。
$\frac{\pi}{6} < t < \frac{5}{6}\pi$ のとき、$f'(t) < 0$ より単調減少。
$\frac{5}{6}\pi < t \leqq \pi$ のとき、$f'(t) > 0$ より単調増加。

区間の端点および極値をとる点での $f(t)$ の値は、

$$f(0) = 0 + 2\cos 0 + 1 = 3$$

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + 1 = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} + 1$$

$$f\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \frac{5}{6}\pi + 2\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right) + 1 = \frac{5}{6}\pi - \sqrt{3} + 1$$

$$f(\pi) = \pi + 2\cos\pi + 1 = \pi - 1$$

ここで、これらの値の大小を比較する。

まず、$f(0)$ と $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ について、$\sqrt{3} > 1.7$、$ \frac{\pi}{6} > 0.5$ より、$\frac{\pi}{6} + \sqrt{3} + 1 > 0.5 + 1.7 + 1 = 3.2 > 3$ であるから、$f\left(\frac{\pi}{6}\right) > f(0)$ である。

次に、$f(\pi)$ と $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ について、$\pi < 3.2$、$\sqrt{3} > 1.73$ より、

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) - f(\pi) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} + 1 - (\pi - 1) = 2 + \sqrt{3} - \frac{5}{6}\pi > 2 + 1.73 - \frac{5 \cdot 3.2}{6} = 3.73 - \frac{16}{6} > 0$$

よって、$f\left(\frac{\pi}{6}\right) > f(\pi)$ であるから、最大値は $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ である。

最小値について、$f(0) = 3$ と $f(\pi) = \pi - 1$ を比較すると、$3 > \pi - 1$ より $f(\pi)$ の方が小さい。

さらに、$f\left(\frac{5}{6}\pi\right)$ と $f(\pi)$ について、$\pi > 3.14$、$\sqrt{3} < 1.74$ より、

$$f(\pi) - f\left(\frac{5}{6}\pi\right) = \pi - 1 - \left(\frac{5}{6}\pi - \sqrt{3} + 1\right) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} - 2 > \frac{3.14}{6} + 1.73 - 2 = 0.52\cdots - 0.27 > 0$$

よって、$f\left(\frac{5}{6}\pi\right) < f(\pi)$ である。

また、$f\left(\frac{5}{6}\pi\right) > \frac{5 \cdot 3}{6} - 1.8 + 1 = 2.5 - 1.8 + 1 = 1.7 > 0$ であるから、$0 \leqq t \leqq \pi$ において常に $f(t) > 0$ である。

したがって、$L = \sqrt{2}f(t)$ と絶対値を外すことができ、$f(t)$ の最大値および最小値に $\sqrt{2}$ を掛けたものが、それぞれ $L$ の最大値および最小値となる。

最大値は、

$$\sqrt{2} \left( \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} + 1 \right) = \frac{\sqrt{2}}{6}\pi + \sqrt{6} + \sqrt{2}$$

最小値は、

$$\sqrt{2} \left( \frac{5}{6}\pi - \sqrt{3} + 1 \right) = \frac{5\sqrt{2}}{6}\pi - \sqrt{6} + \sqrt{2}$$

解説

点と直線が対称という条件から、「点と直線の距離」に帰着させるのが定石である。線分の長さを2点間の距離の公式で直接立式することも可能だが、式が複雑になりやすい。絶対値を含む関数の最大・最小問題となるが、符号が常に正であることを確認して絶対値を外すことで、1変数の微分の問題として見通しよく解くことができる。極値や端点の値を比較する際は、$\pi \approx 3.14$ や $\sqrt{3} \approx 1.73$ などの近似値を用いて不等式評価を行う必要がある点に注意したい。