数学3 最大最小・解の個数問題 10 解説

方針・初手

方程式の実数解の個数は、左辺を関数とおいたときのグラフと、右辺の定数 $a$ が表す水平な直線 $y = a$ の共有点の個数として考える、定数分離の定石を用いる。関数の導関数を求めて増減を調べ、さらに無限遠での極限を計算することでグラフの概形を捉える。

解法1

$f(x) = (x+4)e^{-\frac{x}{2}}$ とおく。

与えられた方程式の解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しい。

$f(x)$ を微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-\frac{x}{2}} + (x+4) \cdot e^{-\frac{x}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2}x - 2 \right) e^{-\frac{x}{2}} \\ &= -\frac{1}{2}(x+2) e^{-\frac{x}{2}} \end{aligned}$$

となる。

$f'(x) = 0$ とすると、すべての実数 $x$ において $e^{-\frac{x}{2}} > 0$ であるため、$x = -2$ である。

したがって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	$2e$	$\searrow$

次に、極限を調べる。

$x \to \infty$ の極限について、$t = \frac{x}{2}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{t \to \infty} (2t+4)e^{-t} \\ &= \lim_{t \to \infty} (2te^{-t} + 4e^{-t}) \end{aligned}$$

となる。

ここで、問題文で与えられた極限の条件（文脈から $\lim_{t \to \infty} te^{-t} = 0$ と読み取れる）を用い、かつ $\lim_{t \to \infty} e^{-t} = 0$ であることを利用すると、

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0$$

となる。したがって、曲線 $y = f(x)$ は $x \to \infty$ で $x$ 軸に漸近する。

また、$x \to -\infty$ の極限について、$\lim_{x \to -\infty} (x+4) = -\infty$ であり、$\lim_{x \to -\infty} e^{-\frac{x}{2}} = \infty$ であるから、

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

となる。

以上より、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の位置関係から共有点の個数を調べると、以下の場合分けとなる。

(i) $a > 2e$ のとき直線は曲線の極大値より上にあるため、共有点は0個である。

(ii) $a = 2e$ のとき直線は曲線の極大値で接するため、共有点は1個である。

(iii) $0 < a < 2e$ のとき直線は極大値と $x$ 軸の間にあるため、共有点は2個である。

(iv) $a \le 0$ のとき曲線は $x \to \infty$ で $y \to +0$ と漸近するため、$x > -2$ の範囲で負の値をとることはないが、$x < -2$ の範囲で $x$ 軸と交わり $y \to -\infty$ へ向かうため、共有点は1個である。

解説

定数分離法を用いて方程式の解の個数をグラフの共有点の個数に帰着させる、微分法の応用として標準的な問題である。グラフの概形を正確に捉えるためには、極値の計算だけでなく無限遠での極限（漸近線の有無）を必ず調べる必要がある。

特に、$x \to \infty$ の極限では、問題文で与えられた条件式を利用するために $t = \frac{x}{2}$ などの変数変換を行うことがポイントとなる。なお、問題文中の極限式では変数の行き先が明記されていないが、関数の形から明らかに $t \to \infty$ を意図していると判断して解答を進めている。