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数学3 最大最小・解の個数問題 11 解説

方針・初手

$e^x = t$ とおき、絶対値の中にある関数を $t$ の多項式として表す。$t$ の変域におけるそれらの多項式の符号を調べ、絶対値を外して $t$ の関数として増減を調べる。

解法1

$e^x = t$ とおく。 $0 \leqq x \leqq \log_e 3$ より、$1 \leqq t \leqq 3$ である。また、$f(x) = e^{3x} - 6e^{2x} + 11e^x - 6$ より、

$$f(x) = t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = (t-1)(t-2)(t-3)$$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$$f'(x) = 3e^{3x} - 12e^{2x} + 11e^x$$

よって、$f'(x) - 2e^x$ は次のように $t$ の式で表される。

$$f'(x) - 2e^x = 3e^{3x} - 12e^{2x} + 9e^x = 3t^3 - 12t^2 + 9t = 3t(t^2 - 4t + 3) = 3t(t-1)(t-3)$$

ここで、$1 \leqq t \leqq 3$ のとき、$t>0$、$t-1 \geqq 0$、$t-3 \leqq 0$ であるから、常に $3t(t-1)(t-3) \leqq 0$ である。すなわち、$1 \leqq t \leqq 3$ において $f'(x) - 2e^x \leqq 0$ となり、絶対値は符号を反転して外れる。

$$\frac{1}{3}|f'(x) - 2e^x| = \frac{1}{3} \{ -3t(t-1)(t-3) \} = -t(t-1)(t-3)$$

関数 $F(x)$ を $t$ の関数 $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = |(t-1)(t-2)(t-3)| - t(t-1)(t-3)$$

となる。$|(t-1)(t-2)(t-3)|$ の符号は $t=2$ の前後で変化するため、場合分けを行う。

(i) $1 \leqq t \leqq 2$ のとき $(t-1)(t-2)(t-3) \geqq 0$ であるから、絶対値はそのままで外れる。

$$\begin{aligned} g(t) &= (t-1)(t-2)(t-3) - t(t-1)(t-3) \\ &= (t-1)(t-3) \{(t-2) - t\} \\ &= -2(t-1)(t-3) \\ &= -2(t - 2)^2 + 2 \end{aligned}$$

この区間において、$g(t)$ は $t=2$ のとき最大値 $2$、$t=1$ のとき最小値 $0$ をとる。

(ii) $2 \leqq t \leqq 3$ のとき $(t-1)(t-2)(t-3) \leqq 0$ であるから、絶対値は符号を反転して外れる。

$$\begin{aligned} g(t) &= -(t-1)(t-2)(t-3) - t(t-1)(t-3) \\ &= (t-1)(t-3) \{-(t-2) - t\} \\ &= (t-1)(t-3)(-2t+2) \\ &= -2(t-1)^2(t-3) \\ &= -2(t^3 - 5t^2 + 7t - 3) \end{aligned}$$

$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} g'(t) &= -2(3t^2 - 10t + 7) \\ &= -2(3t-7)(t-1) \end{aligned}$$

$2 < t < 3$ において $g'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{7}{3}$ のときである。 $2 \leqq t \leqq \frac{7}{3}$ において $g'(t) \geqq 0$、$ \frac{7}{3} \leqq t \leqq 3$ において $g'(t) \leqq 0$ となるため、$g(t)$ は $t = \frac{7}{3}$ で極大かつ最大となる。極大値は、

$$g\left(\frac{7}{3}\right) = -2\left(\frac{7}{3} - 1\right)^2\left(\frac{7}{3} - 3\right) = -2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{64}{27}$$

また、区間の両端における値は $g(2) = 2$、$g(3) = 0$ である。

(i)、(ii) より、$1 \leqq t \leqq 3$ における $g(t)$ の最大値は $\frac{64}{27}$、最小値は $0$ である。 $t = \frac{7}{3}$ のとき $x = \log_e \frac{7}{3}$ であり、$t = 1, 3$ のとき $x = 0, \log_e 3$ である。

解説

$e^x$ を $t$ などで置換し、多項式の問題に帰着させるのが基本である。絶対値を含む関数は、絶対値の中身の正負によって場合分けをして外す必要がある。本問では、$f'(x) - 2e^x$ の符号が区間内で常に負であることがわかれば、場合分けは $f(x)$ のみで済む。$2 \leqq t \leqq 3$ の区間における最大値が $1 \leqq t \leqq 2$ の区間における最大値 $2$ よりも大きいことを確認することも忘れてはならない。