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数学3 最大最小・解の個数問題 16 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数を微分して導関数の符号を調べる。直接符号が判別できない場合は、分子の関数を新たにおいてさらに微分し、その関数の増減から元の導関数の符号を決定する。

(2) (1) の結果を利用するために、与式を微分して $f'(x)$ を変形し、$\frac{\sin X}{X}$ の形を意図的に作り出す。

解法1

(1)

$g(x) = \frac{\sin x}{x}$ とおく。$x$ で微分すると、商の微分公式より

$$g'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$

となる。ここで、分子を $h(x) = x \cos x - \sin x$ とおく。これを微分すると

$$h'(x) = 1 \cdot \cos x + x (-\sin x) - \cos x = -x \sin x$$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$x > 0$ かつ $\sin x > 0$ であるから、$h'(x) < 0$ となる。

したがって、$h(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において単調減少である。

さらに、$h(0) = 0 \cdot \cos 0 - \sin 0 = 0$ であるから、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において

$$h(x) < h(0) = 0$$

が成り立つ。よって、$g'(x) = \frac{h(x)}{x^2} < 0$ となり、$g(x) = \frac{\sin x}{x}$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ で単調減少であることが示された。

(2)

与えられた関数 $f(x)$ を微分する。合成関数の微分公式より

$$f'(x) = -\sin \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right) \cdot \left( -\frac{\pi}{2} \sin x \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right)$$

$$f'(x) = \frac{\pi}{2} \left\{ \sin x \sin \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right) - \cos x \sin \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right) \right\}$$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x > 0, \sin x > 0$ であるから、式を次のように変形して (1) で調べた関数 $g(x)$ を出現させる。

$$f'(x) = \frac{\pi}{2} \sin x \cos x \left\{ \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right)}{\cos x} - \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right)}{\sin x} \right\}$$

かっこの中に $\frac{\pi}{2}$ をかけることで、次のように整理できる。

$$f'(x) = \frac{\pi^2}{4} \sin x \cos x \left\{ \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \cos x \right)}{\frac{\pi}{2} \cos x} - \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \sin x \right)}{\frac{\pi}{2} \sin x} \right\}$$

ここで、$X = \frac{\pi}{2} \cos x$、$Y = \frac{\pi}{2} \sin x$ とおくと、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $0 < X < \frac{\pi}{2}$、$0 < Y < \frac{\pi}{2}$ を満たしており、波括弧の中は $g(X) - g(Y)$ と表せる。

(1) より $g(t)$ は区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ で単調減少であるから、$X$ と $Y$ の大小関係によって $f'(x)$ の符号が決まる。

(i) $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき

$\cos x > \sin x$ より $X > Y$ である。 $g(t)$ は単調減少であるから、$g(X) < g(Y)$ となり、$f'(x) < 0$ である。

(ii) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき

$\cos x = \sin x$ より $X = Y$ である。したがって、$g(X) = g(Y)$ となり、$f'(x) = 0$ である。

(iii) $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき

$\cos x < \sin x$ より $X < Y$ である。 $g(t)$ は単調減少であるから、$g(X) > g(Y)$ となり、$f'(x) > 0$ である。

以上の結果と、$f(0)$、$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ の値を用いて増減を調べる。

$x = 0$ のとき

$$f(0) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cos 0 = 0 + 1 = 1$$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\cos \left( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \right)$$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos 0 + \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 = 1$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ で $f(x)$ は単調に減少し、$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ で $f(x)$ は単調に増加する。

したがって、最大値は $f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$、最小値は $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos \left( \frac{\sqrt{2}}{4}\pi \right)$ となる。

解説

(1) が (2) の誘導となっている典型的な問題である。直接 $f'(x)$ の符号を判断するのは困難であるが、$f'(x)$ をくくり出すことで強引に $\frac{\sin(\text{変数})}{\text{変数}}$ の形を作り出す発想が鍵となる。このとき、分母に $\cos x$ や $\sin x$ を持ってくるため、$\sin x \cos x$ でくくる工夫が必要である。くくった後の式において、(1) で証明した「単調減少性」を大小比較に活用する論理展開が要求される。