数学3 最大最小・解の個数問題 17 解説

方針・初手

与えられた関数を微分して導関数を求め、増減表を作成することで関数の最大値と最小値を調べる。導関数の符号変化を正確に判定し、端点や極値の大小比較を適切に行うことがポイントである。

解法1

関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。積の微分公式に注意して計算する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 4 \cos x - 4(\cos x - x \sin x) - 2x \\ &= 4 \cos x - 4 \cos x + 4x \sin x - 2x \\ &= 4x \sin x - 2x \\ &= 2x(2 \sin x - 1) \end{aligned}$$

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$2x(2 \sin x - 1) = 0$$

$x = 0$ または $\sin x = \frac{1}{2}$ であるから、与えられた区間内の解は $x = 0, \frac{\pi}{6}$ である。

これをもとに増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$f'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$4-\frac{\pi^2}{4}$

$0 < x < \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin x < \frac{1}{2}$ であるから $2 \sin x - 1 < 0$ となり、$f'(x) < 0$ である。

$\frac{\pi}{6} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x > \frac{1}{2}$ であるから $2 \sin x - 1 > 0$ となり、$f'(x) > 0$ である。

各点における関数の値は以下の通りである。

$x = 0$ のとき

$$f(0) = 0$$

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 4 \sin \frac{\pi}{6} - 4 \cdot \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6} - \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 \\ &= 4 \cdot \frac{1}{2} - \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{36} \\ &= 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\pi - \frac{\pi^2}{36} \end{aligned}$$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 4 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cdot \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ &= 4 \cdot 1 - 0 - \frac{\pi^2}{4} \\ &= 4 - \frac{\pi^2}{4} \end{aligned}$$

増減表より、最小値は $x = \frac{\pi}{6}$ のときの $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ である。

最大値については、$f(0) = 0$ と $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 - \frac{\pi^2}{4}$ の大小を比較する。 $\pi < 4$ であるから $\pi^2 < 16$ となり、

$$\frac{\pi^2}{4} < 4$$

が成り立つ。したがって $4 - \frac{\pi^2}{4} > 0$ であり、$f\left(\frac{\pi}{2}\right) > f(0)$ となる。よって、最大値は $x = \frac{\pi}{2}$ のときの $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ である。

解説

三角関数と多項式が混ざった関数の最大・最小問題である。導関数を計算する際、積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ を用いて $-4x \cos x$ を微分する箇所で符号のミスなどが起きやすいので注意が必要である。導関数を適切に因数分解して符号変化を調べることで、関数の増減を正確に把握できる。最大値の候補となる区間の両端の値については、$\pi$ が無理数であることを踏まえ、$\pi < 4$ などの評価を用いて大小関係を論理的に示すことが重要である。