数学3 最大最小・解の個数問題 18 解説

方針・初手

図形の対称性に着目し、正方形の1辺の長さを $\theta$ を用いて表す。円と正方形の共通部分の面積を仲介させて、$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $\theta$ の式で表し、その和 $S$ を求める。微分の計算では、倍角の公式を利用して式を整理すると符号変化が調べやすい。

解法1

(1)

正方形の中心は円の中心Oと一致する。正方形の1辺ABの中点をMとすると、$\triangle OPM$ は直角三角形となる。 $\angle POQ = 2\theta$ であり、対称性から $\angle POM = \theta$ である。円の半径は $1$ なので、$OP = 1$ である。よって、

$$OM = \cos\theta, \quad PM = \sin\theta$$

正方形の各辺は中心Oから距離 $\cos\theta$ にあるため、正方形の1辺の長さは $2\cos\theta$ である。正方形の頂点が円の外部にあり、辺が円周と交わる条件から、$OM < 1$ かつ $O$ から頂点までの距離 $\sqrt{2}\cos\theta > 1$ が成り立つ。したがって、

$$\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos\theta < 1$$

であり、$\theta$ のとり得る値の範囲は $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ である。

円の面積は $\pi \cdot 1^2 = \pi$、正方形の面積は $(2\cos\theta)^2 = 4\cos^2\theta$ である。円の内部にあって正方形の外部にある部分（面積 $S_1$）は、円から弦で切り取られた4つの合同な弓形からなる。 1つの弓形の面積は、中心角 $2\theta$ の扇形OPQの面積から $\triangle OPQ$ の面積を引いたものである。

$$\text{扇形OPQの面積} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 2\theta = \theta$$

$$\triangle OPQ\text{の面積} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin 2\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$$

よって、$S_1$ は次のように表される。

$$S_1 = 4 \left( \theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) = 4\theta - 2\sin 2\theta$$

次に、円と正方形の共通部分の面積を $U$ とする。円の面積に着目すると、$\pi = U + S_1$ より $U = \pi - S_1$ となる。円の外部にあって正方形の内部にある部分の面積 $S_2$ は、正方形の面積から共通部分 $U$ を引いたものであるから、

$$S_2 = 4\cos^2\theta - U = 4\cos^2\theta - (\pi - S_1)$$

求める和 $S$ は $S = S_1 + S_2$ であるから、

$$S = S_1 + 4\cos^2\theta - \pi + S_1 = 2S_1 + 4\cos^2\theta - \pi$$

これに $S_1 = 4\theta - 2\sin 2\theta$ を代入し、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて変形する。

$$S = 2(4\theta - 2\sin 2\theta) + 2(1 + \cos 2\theta) - \pi$$

$$S = 8\theta - 4\sin 2\theta + 2\cos 2\theta + 2 - \pi$$

(2)

$S$ を $\theta$ で微分する。

$$\frac{dS}{d\theta} = 8 - 8\cos 2\theta - 4\sin 2\theta$$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta, \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて変形する。

$$\frac{dS}{d\theta} = 8 - 8(1 - 2\sin^2\theta) - 8\sin\theta\cos\theta$$

$$\frac{dS}{d\theta} = 16\sin^2\theta - 8\sin\theta\cos\theta = 8\sin\theta(2\sin\theta - \cos\theta)$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ において $\sin\theta > 0, \cos\theta > 0$ であるから、$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となるのは $2\sin\theta - \cos\theta = 0$、すなわち $\tan\theta = \frac{1}{2}$ のときである。 $\tan\alpha = \frac{1}{2} \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{4} \right)$ を満たす角 $\alpha$ をとると、 $0 < \theta < \alpha$ のとき $\tan\theta < \frac{1}{2}$ より $\frac{dS}{d\theta} < 0$ $\alpha < \theta < \frac{\pi}{4}$ のとき $\tan\theta > \frac{1}{2}$ より $\frac{dS}{d\theta} > 0$ よって、$S$ は $\theta = \alpha$ のとき極小かつ最小となる。

$\tan\theta = \frac{1}{2}$ のとき、三角比の相互関係 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ より、

$$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{5}{4}$$

$\cos\theta > 0$ であるから、

$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$$

求める正方形の1辺の長さは $2\cos\theta$ であるから、

$$2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$

解説

円と多角形の重なりに関する面積の最大・最小問題である。共通部分の面積を直接求めるのは計算が煩雑になる場合があるため、$S_1$ と $S_2$ を足し合わせた $S$ を求める際、円の面積と正方形の面積との関係式からアプローチすると見通しが良くなる。すなわち、「和＝（円の面積－共通部分）＋（正方形の面積－共通部分）」と捉えることで、共通部分の相殺と $S_1$ の再利用が明確になる。微分の計算においては、2倍角の公式を用いて因数分解の形を作ると、増減の判定が容易になる。