数学3 最大最小・解の個数 問題 19 解説

方針・初手

点 $(a, b)$ を通る直線の方程式を文字を用いて設定し、点 P、Q の座標をその文字で表すことから始める。直線の設定方法には大きく分けて、傾きを変数とする方法と、$x$ 切片および $y$ 切片を変数とする方法がある。 OP+OQ の最小値については「相加平均と相乗平均の関係」が有効である。PQ の最小値については、設定した変数について微分を行い、増減を調べることで最小値を求める。

解法1

直線の傾きを $m$ とすると、この直線は第1象限の点 $(a, b)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸の正の部分と交わるため $m < 0$ である。 直線の方程式は、

$$y - b = m(x - a)$$

と表される。 $y=0$ を代入して $x$ 座標を求めると、点 P の座標は $\left(a - \frac{b}{m}, 0\right)$ となる。 $x=0$ を代入して $y$ 座標を求めると、点 Q の座標は $(0, b - am)$ となる。 ここで $t = -m$ とおくと、$m < 0$ より $t > 0$ であり、

$$OP = a + \frac{b}{t}, \quad OQ = b + at$$

となる。

(1) OP+OQ の最小値

OP+OQ を $t$ を用いて表すと、

$$OP + OQ = a + \frac{b}{t} + b + at = a + b + at + \frac{b}{t}$$

となる。$t > 0, a > 0, b > 0$ であるから、$at > 0, \frac{b}{t} > 0$ である。相加平均と相乗平均の関係より、

$$at + \frac{b}{t} \geqq 2\sqrt{at \cdot \frac{b}{t}} = 2\sqrt{ab}$$

が成り立つ。したがって、

$$OP + OQ \geqq a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$$

となる。等号が成立するのは、$at = \frac{b}{t}$ すなわち $t^2 = \frac{b}{a}$ のときである。$t > 0$ より $t = \sqrt{\frac{b}{a}}$ のときに等号が成立し、条件を満たす直線が存在する。 よって、OP+OQ の最小値は $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ である。

(2) PQ の最小値

三平方の定理より、

$$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = \left( a + \frac{b}{t} \right)^2 + (b + at)^2$$

となる。この右辺を $f(t)$ とおき、$t > 0$ における最小値を求める。

$$f(t) = a^2 + \frac{2ab}{t} + \frac{b^2}{t^2} + b^2 + 2abt + a^2 t^2$$

$t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(t) &= -\frac{2ab}{t^2} - \frac{2b^2}{t^3} + 2ab + 2a^2 t \\ &= \frac{2a^2 t^4 + 2ab t^3 - 2ab t - 2b^2}{t^3} \\ &= \frac{2}{t^3} \{ at^3(at + b) - b(at + b) \} \\ &= \frac{2}{t^3} (at^3 - b)(at + b) \end{aligned}$$

$t > 0, a > 0, b > 0$ より $\frac{2(at+b)}{t^3} > 0$ である。 したがって、$f'(t) = 0$ となるのは $at^3 - b = 0$、すなわち $t = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$ のときである。 $t > 0$ における $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ のとき、

$$a + \frac{b}{t} = a + b(a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}) = a + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$$

$$b + at = b + a(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}) = b + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$$

となるから、

$$\begin{aligned} f(t) &= \{ a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \}^2 + \{ b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) \}^2 \\ &= a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^2 + b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^2 \\ &= (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^2 \\ &= (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^3 \end{aligned}$$

$PQ > 0$ より、$PQ$ の最小値は、

$$\sqrt{(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^3} = (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$$

である。

解法2

点 P、Q の座標をそれぞれ $(p, 0)$、$(0, q)$ とおく（$p > 0, q > 0$）。 この直線の方程式は、

$$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$$

となる。この直線が点 $(a, b)$ を通るので、

$$\frac{a}{p} + \frac{b}{q} = 1$$

が成り立つ。$a > 0, b > 0$ であるから、$0 < \frac{a}{p} < 1$ かつ $0 < \frac{b}{q} < 1$ である。 ここで、$\theta$ を $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす実数として、

$$\frac{a}{p} = \cos^2 \theta, \quad \frac{b}{q} = \sin^2 \theta$$

とおくことができる。これより、$p, q$ は次のようにパラメータ表示される。

$$p = \frac{a}{\cos^2 \theta}, \quad q = \frac{b}{\sin^2 \theta}$$

(1) OP+OQ の最小値

$$\begin{aligned} OP + OQ &= p + q \\ &= \frac{a}{\cos^2 \theta} + \frac{b}{\sin^2 \theta} \\ &= a(1 + \tan^2 \theta) + b\left(1 + \frac{1}{\tan^2 \theta}\right) \\ &= a + b + a\tan^2 \theta + \frac{b}{\tan^2 \theta} \end{aligned}$$

相加平均と相乗平均の関係より、

$$a\tan^2 \theta + \frac{b}{\tan^2 \theta} \geqq 2\sqrt{a\tan^2 \theta \cdot \frac{b}{\tan^2 \theta}} = 2\sqrt{ab}$$

等号が成立するのは、$a\tan^2 \theta = \frac{b}{\tan^2 \theta}$ すなわち $\tan^2 \theta = \sqrt{\frac{b}{a}}$ のときである。（$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲にこれを満たす $\theta$ は存在する。） よって、OP+OQ の最小値は $a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ である。

(2) PQ の最小値

$$PQ^2 = p^2 + q^2 = \frac{a^2}{\cos^4 \theta} + \frac{b^2}{\sin^4 \theta}$$

右辺を $g(\theta)$ とおき、$\theta$ で微分する。

$$\begin{aligned} g'(\theta) &= -4a^2 (\cos \theta)^{-5} (-\sin \theta) - 4b^2 (\sin \theta)^{-5} (\cos \theta) \\ &= \frac{4a^2 \sin \theta}{\cos^5 \theta} - \frac{4b^2 \cos \theta}{\sin^5 \theta} \\ &= \frac{4(a^2 \sin^6 \theta - b^2 \cos^6 \theta)}{\sin^5 \theta \cos^5 \theta} \end{aligned}$$

$g'(\theta) = 0$ とすると、

$$a^2 \sin^6 \theta = b^2 \cos^6 \theta \iff \tan^6 \theta = \frac{b^2}{a^2} \iff \tan^2 \theta = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\tan^2 \theta$ は単調増加であるから、$g'(\theta) = 0$ を満たす $\theta$ の前後で $g'(\theta)$ は負から正に変わり、$g(\theta)$ は最小値をとる。 計算を簡単にするため、$A = a^{\frac{2}{3}}, B = b^{\frac{2}{3}}$ とおくと、$\tan^2 \theta = \frac{B}{A}$ であるから、

$$\cos^2 \theta = \frac{1}{1+\tan^2 \theta} = \frac{1}{1+\frac{B}{A}} = \frac{A}{A+B}$$

$$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \frac{B}{A+B}$$

これらを $g(\theta)$ に代入する。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= \frac{a^2}{\left(\frac{A}{A+B}\right)^2} + \frac{b^2}{\left(\frac{B}{A+B}\right)^2} \\ &= \frac{a^2 (A+B)^2}{A^2} + \frac{b^2 (A+B)^2}{B^2} \end{aligned}$$

ここで、$A^2 = a^{\frac{4}{3}}$ より $\frac{a^2}{A^2} = a^{\frac{2}{3}} = A$ であり、同様に $\frac{b^2}{B^2} = B$ となる。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= A(A+B)^2 + B(A+B)^2 \\ &= (A+B)^3 \\ &= (a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^3 \end{aligned}$$

よって、PQ の最小値は $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ である。

解説

点 $(a, b)$ を通る直線と座標軸とで囲まれる図形における線分の長さの最小値を求める典型的な問題である。 直線の式をどのように設定するかが計算量を分ける鍵となる。解法1のように直線の傾きを変数として設定する方法が標準的であるが、解法2のように切片の関係式から三角関数を用いてパラメータ表示を行うと、(2)の微分の計算が比較的すっきりとまとまり、式変形も見通しが良くなる。 (1)の OP+OQ の最小値については、どちらの変数設定であっても「相加平均と相乗平均の関係」を利用することで容易に求めることができる。 なお、(2)で得られた最小値 $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ は、アステロイド（星芒形）の曲線長に関連する有名な式である。

答え

OP+OQ の最小値: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

PQ の最小値: $(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$