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数学3 最大最小・解の個数問題 21 解説

方針・初手

対数の和を真数の積にまとめることで、1つの対数関数に帰着させる。真数部分の二次関数の最大・最小を考え、その後、対数の底 $a$ の大きさ（$a>1$ か $0<a<1$ か）によって関数の増減が変わることに注意して場合分けを行う。

解法1

与えられた関数は、

$$f(x) = \log_a(2a+x) + \log_a(2a-x)$$

真数条件を確認する。$-a \le x \le a$ と $a > 0$ より、

$$2a+x \ge 2a-a = a > 0$$

$$2a-x \ge 2a-a = a > 0$$

よって、閉区間 $[-a, a]$ において真数条件は常に満たされる。

対数の性質を用いて関数を変形すると、

$$f(x) = \log_a(2a+x)(2a-x) = \log_a(4a^2 - x^2)$$

となる。

ここで、真数部分を $g(x) = 4a^2 - x^2$ とおく。定義域が $-a \le x \le a$ であるため、$0 \le x^2 \le a^2$ となる。したがって、$g(x)$ のとり得る値の範囲は、

$$3a^2 \le g(x) \le 4a^2$$

であり、$x=0$ のとき最大値 $4a^2$ をとり、$x=\pm a$ のとき最小値 $3a^2$ をとる。

$f(x) = \log_a g(x)$ の最大値および最小値は、底 $a$ の値の範囲によって変化するため、場合分けをして考える。

(i) $a > 1$ のとき底が $1$ より大きいため、$f(x) = \log_a g(x)$ は $g(x)$ について単調増加である。したがって、$g(x)$ が最大のとき $f(x)$ も最大となり、$g(x)$ が最小のとき $f(x)$ も最小となる。

最大値は、$x=0$ のときで、

$$f(0) = \log_a(4a^2) = \log_a 4 + \log_a a^2 = 2\log_a 2 + 2 = 2A + 2$$

最小値は、$x=\pm a$ のときで、

$$f(\pm a) = \log_a(3a^2) = \log_a 3 + \log_a a^2 = B + 2$$

(ii) $0 < a < 1$ のとき底が $1$ より小さいため、$f(x) = \log_a g(x)$ は $g(x)$ について単調減少である。したがって、$g(x)$ が最小のとき $f(x)$ は最大となり、$g(x)$ が最大のとき $f(x)$ は最小となる。

最大値は、$x=\pm a$ のときで、

$$f(\pm a) = \log_a(3a^2) = \log_a 3 + \log_a a^2 = B + 2$$

最小値は、$x=0$ のときで、

$$f(0) = \log_a(4a^2) = \log_a 4 + \log_a a^2 = 2\log_a 2 + 2 = 2A + 2$$

解説

対数関数の最大・最小を求める典型的な問題である。重要なポイントは、真数を $1$ つにまとめた後、底 $a$ が $1$ より大きいか小さいかによって、対数関数の単調性が逆転することに気づけるかどうかである。文字定数が底に含まれている場合は、常に底の条件 ($a>1$ または $0<a<1$) による場合分けを意識する必要がある。また、問題で与えられた文字 $A, B$ を用いて簡潔に表現するための対数の計算も求められている。