数学3 最大最小・解の個数問題 22 解説

方針・初手

分数関数の最小値を求める問題である。そのまま微分してもよいが、分子の次数が分母の次数より高いため、まずは分子を分母で割り、次数を下げるのが定石である。さらに $x^2+1=t$ などと置換することで、より簡潔な1変数関数の最小値問題に帰着させることができる。相加平均と相乗平均の大小関係を用いる解法と、微分法による解法を示す。

解法1

$x^2+1=t$ とおく。$x$ は実数であるから、$x^2 \ge 0$ より $t \ge 1$ である。

分子 $x^4+3x^2+4$ を $t$ を用いて表すと、

$$x^4+3x^2+4 = (t-1)^2+3(t-1)+4 = t^2+t+2$$

となる。したがって、与えられた関数 $f(x)$ は $t$ の関数として次のように表せる。

$$f(x) = \frac{t^2+t+2}{t} = t + 1 + \frac{2}{t}$$

$t \ge 1 > 0$ であるから、$t > 0$ かつ $\frac{2}{t} > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$$

が成り立つ。両辺に $1$ を加えて、

$$t + 1 + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{2} + 1$$

等号が成立するのは、$t = \frac{2}{t}$ すなわち $t^2 = 2$ のときである。 $t \ge 1$ であるから、$t = \sqrt{2}$ のときに等号が成立する。

このとき、$x^2+1 = \sqrt{2}$ より $x^2 = \sqrt{2}-1 > 0$ であるから、これを満たす実数 $x$ は確かに存在する（$x = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$）。

よって、$f(x)$ の最小値は $2\sqrt{2} + 1$ である。

解法2

関数 $f(x)$ の分子を分母で割ることで、次のように変形する。

$$f(x) = \frac{(x^2+1)(x^2+2)+2}{x^2+1} = x^2 + 2 + \frac{2}{x^2+1}$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 2x - \frac{2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = 2x \left( 1 - \frac{2}{(x^2+1)^2} \right) = \frac{2x \{(x^2+1)^2 - 2\}}{(x^2+1)^2}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$2x \{(x^2+1)^2 - 2\} = 0$$

これより、$x = 0$ または $(x^2+1)^2 = 2$ である。 $x$ は実数であるから $x^2+1 \ge 1$ であり、$(x^2+1)^2 = 2$ より $x^2+1 = \sqrt{2}$ 、すなわち $x^2 = \sqrt{2}-1$ を得る。これを解いて、$x = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$ となる。

ここで、$\alpha = \sqrt{\sqrt{2}-1}$ とおくと、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x & \cdots & -\alpha & \cdots & 0 & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

増減表から、$f(x)$ は $x = \pm\alpha$ で最小値をとる。 $x^2+1 = \sqrt{2}$ のとき、

$$f(x) = (\sqrt{2}-1) + 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 1$$

よって、$f(x)$ の最小値は $2\sqrt{2} + 1$ である。

解説

分数関数の最大・最小を求める典型的な問題である。分子の次数が分母の次数以上である場合は、まず「分子の次数を下げる」ことが基本方針となる。本問では分母が $x^2+1$ であるため、$x^2+1=t$ と置換すると式が非常に見やすくなり、相加平均と相乗平均の大小関係を用いる形が自然と現れる。

相加平均と相乗平均の大小関係を用いる際は、必ず「各項が正であること」および「等号成立条件（特に、定義域内で等号が成立する実数が存在するかどうか）」を確認すること。これを怠ると減点対象になり得る。解法2のように微分法を用いても解けるが、計算量がやや増えるため、解法1の置換と相加・相乗平均を用いた解法を選択できるとよい。