数学3 最大最小・解の個数問題 25 解説

方針・初手

四角形 $\text{ABCD}$ を対角線 $\text{AC}$ で2つの三角形 $\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{ACD}$ に分割し、それぞれの面積を考える。 $\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{BC}$ の二等辺三角形であるため、$\text{AC}$ の長さおよび面積は $\theta$ を用いて表すことができる。これを用いて $\triangle\text{ACD}$ の面積を最大化する条件を求め、全体として面積 $S$ が最大となる $\theta$ を探る。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{BC}=1$ の二等辺三角形であり、$\angle\text{ACB}=\theta$ であるから、$\angle\text{BAC}=\theta$ となる。頂点 $\text{B}$ から辺 $\text{AC}$ に垂線を下ろすことで、$\text{AC} = 2\text{BC}\cos\theta = 2\cos\theta$ と求まる。 $\triangle\text{ACD}$ において、$\text{CD}=1$、$\text{AC}=2\cos\theta$ であるから、その面積は

$$\triangle\text{ACD} = \frac{1}{2} \cdot \text{AC} \cdot \text{CD} \cdot \sin\angle\text{ACD} = \cos\theta \sin\angle\text{ACD}$$

と表される。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ であり、また三角形の内角の条件から $0 < \angle\text{ACD} < \pi$ である。したがって、$\triangle\text{ACD}$ の面積が最大となるのは $\sin\angle\text{ACD} = 1$ のとき、すなわち

$$\angle\text{ACD} = \frac{\pi}{2}$$

のときである。このときの $\triangle\text{ACD}$ の面積は $\cos\theta$ である。

(2)

(ア)

四角形 $\text{ABCD}$ の面積 $S$ は、$S = \triangle\text{ABC} + \triangle\text{ACD}$ である。 $\triangle\text{ABC}$ の面積は、$\angle\text{ABC} = \pi - 2\theta$ より

$$\triangle\text{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{BC} \cdot \sin(\pi - 2\theta) = \frac{1}{2} \sin 2\theta = \sin\theta\cos\theta$$

である。 $\theta$ を固定したとき、$S$ が最大になるのは $\triangle\text{ACD}$ の面積が最大のときであり、(1) よりその最大値は $\cos\theta$ である。したがって、$S$ の最大値は関数 $f(\theta) = \frac{1}{2}\sin 2\theta + \cos\theta \quad \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ の最大値として求められる。 $f(\theta)$ を微分すると、

$$\begin{aligned} f'(\theta) &= \cos 2\theta - \sin\theta \\ &= (1 - 2\sin^2\theta) - \sin\theta \\ &= -(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) \end{aligned}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\sin\theta + 1 > 0$ であるから、$f'(\theta) = 0$ となるのは $\sin\theta = \frac{1}{2}$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$ のときである。増減表は以下のようになる。

$\theta$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$f'(\theta)$		$+$	$0$	$-$
$f(\theta)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき $S$ は最大値をとる。最大値は、

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

(イ)

$S$ が最大値をとるとき、(1) および (2)(ア) より、$\theta = \frac{\pi}{6}$、$\angle\text{ACD} = \frac{\pi}{2}$ である。このとき、$\triangle\text{ABC}$ の内角について

$$\angle\text{ABC} = \pi - 2\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

である。また、$\triangle\text{ACD}$ において $\angle\text{ACD} = \frac{\pi}{2}$、$\text{CD}=1$、$\text{AC} = 2\cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ であるから、三平方の定理より

$$\text{AD} = \sqrt{\text{AC}^2 + \text{CD}^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$

となる。$\triangle\text{ACD}$ は辺の比が $1:\sqrt{3}:2$ の直角三角形であるから、

$$\angle\text{ADC} = \frac{\pi}{3}$$

である。四角形 $\text{ABCD}$ の対角の和を計算すると、

$$\angle\text{ABC} + \angle\text{ADC} = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$$

となる。対角の和が $\pi$ ($180^\circ$) であるため、四角形 $\text{ABCD}$ はある円に内接することが証明された。

さらに、四角形 $\text{ABCD}$ は $\triangle\text{ACD}$ の外接円に内接している。 $\triangle\text{ACD}$ は $\angle\text{ACD} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形であるため、その外接円の中心は斜辺 $\text{AD}$ の中点であり、これが四角形 $\text{ABCD}$ の外接円の中心と一致する。また、その半径は $\frac{1}{2}\text{AD} = 1$ である。

解説

図形と微分の融合問題である。 (1) では変数を $\theta$ 以外に $\angle\text{ACD}$ も意識して、何が定数で何が変数かを正確に把握する力が問われている。面積の最大値を考える際、2辺が定まっている三角形では、その間の角が $90^\circ$ のときに面積が最大になるという図形的性質を利用するとスムーズに立式できる。 (2)(イ) では、四角形が円に内接する条件「対角の和が $180^\circ$」を示すのが定石である。また、直角三角形の外接円の中心が斜辺の中点に一致することは頻出の性質なので、迷わず利用したい。