数学3 最大最小・解の個数問題 26 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ で微分し、導関数 $f'(x)$ の符号を調べることで関数の増減を調べ、最大値を求める。微分の計算においては、積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

解法1

関数 $f(x) = x(\log x)^2$ を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)' (\log x)^2 + x \left\{ (\log x)^2 \right\}' \\ &= 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \\ &= (\log x)^2 + 2\log x \\ &= \log x(\log x + 2) \end{aligned}$$

となる。

$f'(x) = 0$ とすると、

$$\log x(\log x + 2) = 0$$

ここで、$0 < x < 1$ であるから、$\log x < 0$ となる。したがって、$\log x \neq 0$ であるため、

$$\log x + 2 = 0$$

すなわち、

$$\log x = -2$$

これを解くと、

$$x = e^{-2}$$

となる。ここで、$e > 1$ より $0 < e^{-2} < 1$ であるため、この $x$ の値は定義域 $0 < x < 1$ に含まれる。

導関数 $f'(x)$ の符号は、$\log x < 0$ より $\log x + 2$ の符号によって決まる。 $0 < x < e^{-2}$ のとき、$\log x < -2$ であるから $\log x + 2 < 0$ となり、全体の符号は $f'(x) > 0$ となる。 $e^{-2} < x < 1$ のとき、$-2 < \log x < 0$ であるから $\log x + 2 > 0$ となり、全体の符号は $f'(x) < 0$ となる。

これより、$0 < x < 1$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e^{-2}$	$\cdots$	$(1)$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = e^{-2}$ のとき極大かつ最大となる。

そのときの最大値は、

$$\begin{aligned} f(e^{-2}) &= e^{-2} (\log e^{-2})^2 \\ &= e^{-2} (-2)^2 \\ &= \frac{4}{e^2} \end{aligned}$$

である。

解説

数学IIIの微分法を用いて関数の最大値を求める標準的な問題である。

ポイントは以下の2点である。

導関数の計算：積の微分法 $(fg)' = f'g + fg'$ と合成関数の微分法を正確に適用し、因数分解された形まで整理すること。
増減の判定：定義域が $0 < x < 1$ であることに注意し、$f'(x) = \log x(\log x + 2)$ の符号変化を調べること。この範囲では常に $\log x < 0$ であるため、全体の符号は $\log x + 2$ の符号に依存する点に着目すると判定が容易になる。