数学3 最大最小・解の個数問題 28 解説

方針・初手

分数関数の最大値を求める問題である。導関数を計算して増減表を作成し、グラフの概形から最大値を求めるのが基本方針となる。また、関数の値を定数 $k$ とおき、$x$ についての方程式が実数解をもつ条件（判別式）から $k$ のとりうる値の範囲を求める解法（逆像法）も有効である。

解法1

関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。商の微分公式より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3(x^2+1) - (3x+4) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 8x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-3x^2 - 8x + 3}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-(3x-1)(x+3)}{(x^2+1)^2} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = \frac{1}{3}, -3$ である。 $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-3$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

ここで、極大値は

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} + 4}{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1} = \frac{1+4}{\frac{1}{9}+1} = \frac{5}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{2}$$

また、$x \to \pm \infty$ の極限を調べると、

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = 0$$

増減表と極限より、関数 $f(x)$ は $x = \frac{1}{3}$ で最大値 $\frac{9}{2}$ をとる。

解法2

$f(x) = k$ とおくと、

$$\frac{3x+4}{x^2+1} = k$$

分母を払って整理すると、

$$kx^2 - 3x + k - 4 = 0 \quad \cdots (1)$$

関数 $f(x)$ が値 $k$ をとるための条件は、$x$ についての方程式 (1) が実数解をもつことである。

(i) $k = 0$ のとき方程式 (1) は $-3x - 4 = 0$ となり、$x = -\frac{4}{3}$ という実数解をもつ。

(ii) $k \neq 0$ のとき方程式 (1) は $x$ についての2次方程式となる。実数解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると $D \ge 0$ であることである。

$$D = (-3)^2 - 4k(k-4) = -4k^2 + 16k + 9$$

であるから、

$$-4k^2 + 16k + 9 \ge 0$$

$$4k^2 - 16k - 9 \le 0$$

$$(2k-9)(2k+1) \le 0$$

$$-\frac{1}{2} \le k \le \frac{9}{2}$$

(i), (ii) をあわせて、$k$ のとりうる値の範囲は

$$-\frac{1}{2} \le k \le \frac{9}{2}$$

したがって、$k$ の最大値は $\frac{9}{2}$ である。このとき、方程式 (1) は重解をもつ。その重解は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の重解が $x = -\frac{b}{2a}$ であることを用いると、

$$x = -\frac{-3}{2k} = \frac{3}{2 \cdot \frac{9}{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

よって、$x = \frac{1}{3}$ のとき、最大値 $\frac{9}{2}$ をとる。

解説

分数関数の最大・最小を求める標準的な問題である。数学IIIの微分を学習していれば、解法1のように素直に微分して増減表を書くのが王道である。極値を求めた後は、必ず $x \to \pm \infty$ の極限を調べ、極大値が本当に最大値であるかを確認する手順を忘れないようにしたい。

一方、解法2のような「実数条件（逆像法）」を用いるアプローチも有名である。$y=f(x)$ を満たす実数 $x$ が存在するような $y$ の範囲を求める、という視点に立つことで、数学IIまでの知識で処理できる場合がある。分母を払った後にできる方程式が2次方程式とは限らない（$x^2$ の係数が $0$ になる場合）ことに注意し、場合分けを行うことが重要である。