数学3 最大最小・解の個数問題 29 解説

方針・初手

直円錐の対称軸を含む平面で切断した断面図を考えることで、空間図形を平面図形の問題に帰着させる。断面は二等辺三角形とそれに内接する円となるため、直角三角形の相似を利用して母線、高さ、底面の半径の関係式を導く。(2)は体積を1変数関数として表し、相加平均と相乗平均の大小関係（または微分）を用いて最小値を求める。(3)以降は、(2)で求めた具体的な値を用いて、再び断面図上の幾何的な性質から必要な線分の長さを求め、回転体の体積を積分で計算する。

解法1

(1)

直円錐の頂点を $\mathrm{A}$、底面の中心を $\mathrm{B}$、直円錐に内接する球の中心を $\mathrm{O}$ とする。また、直円錐の底面の円周上の1点を $\mathrm{C}$ とし、線分 $\mathrm{AC}$ と球の接点を $\mathrm{T}$ とする。 3点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ を通る平面で切断した断面を考える。

$\triangle\mathrm{ABC}$ は $\angle\mathrm{B} = 90^\circ$ の直角三角形であり、$\mathrm{AB} = h$、$\mathrm{BC} = r$ であるから、三平方の定理より $\mathrm{AC} = \sqrt{r^2+h^2}$ である。球は底面と点 $\mathrm{B}$ で接するため、球の中心 $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあり、$\mathrm{OB} = 1$ である。したがって、$\mathrm{AO} = h-1$ である。また、球は母線 $\mathrm{AC}$ と点 $\mathrm{T}$ で接するため、$\mathrm{OT} \perp \mathrm{AC}$ であり、$\mathrm{OT} = 1$ である。

$\triangle\mathrm{ATO}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ において、 $\angle\mathrm{ATO} = \angle\mathrm{ABC} = 90^\circ$ であり、$\angle\mathrm{A}$ は共通である。よって、$\triangle\mathrm{ATO} \sim \triangle\mathrm{ABC}$ である。

相似比より $\mathrm{OT} : \mathrm{BC} = \mathrm{AO} : \mathrm{AC}$ が成り立つため、以下の方程式を得る。

$$1 : r = (h-1) : \sqrt{r^2+h^2}$$

$$r(h-1) = \sqrt{r^2+h^2}$$

$r > 0$ かつ図より $h > 2$ であるから、両辺は正である。両辺を2乗して整理する。

$$r^2(h-1)^2 = r^2+h^2$$

$$r^2(h^2 - 2h + 1) = r^2+h^2$$

$$r^2h^2 - 2r^2h = h^2$$

$h \neq 0$ であるから、両辺を $h$ で割る。

$$r^2h - 2r^2 = h$$

$$h(r^2 - 1) = 2r^2$$

ここで $h > 0$ であり、$2r^2 > 0$ であるため、$r^2 - 1 > 0$ となり $r > 1$ である。

$$h = \frac{2r^2}{r^2 - 1}$$

(2)

直円錐の体積を $V$ とすると、$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ であるから、(1)の結果を代入する。

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{2r^2}{r^2 - 1} = \frac{2\pi}{3} \frac{r^4}{r^2 - 1}$$

ここで、$r^2 = t$ とおくと、$r > 1$ より $t > 1$ である。

$$V = \frac{2\pi}{3} \frac{t^2}{t - 1}$$

分子を $t - 1$ の多項式に変形する。

$$V = \frac{2\pi}{3} \frac{(t-1+1)^2}{t-1} = \frac{2\pi}{3} \frac{(t-1)^2 + 2(t-1) + 1}{t-1} = \frac{2\pi}{3} \left( t - 1 + 2 + \frac{1}{t-1} \right)$$

$t > 1$ より $t - 1 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$t - 1 + \frac{1}{t-1} \geqq 2\sqrt{(t-1) \cdot \frac{1}{t-1}} = 2$$

が成り立つ。等号が成立するのは $t - 1 = \frac{1}{t-1}$ すなわち $(t-1)^2 = 1$ のときであり、$t > 1$ より $t - 1 = 1$ つまり $t = 2$ のときである。 $t = 2$ のとき、$r^2 = 2$ より $r = \sqrt{2}$ である。

このとき、$V$ は最小値をとる。最小値は、

$$V = \frac{2\pi}{3} (2 + 2) = \frac{8}{3}\pi$$

(3)

(2)より、$V$ が最小となるのは $r = \sqrt{2}$ のときである。このとき、(1)の式から $h$ を求める。

$$h = \frac{2 \cdot 2}{2 - 1} = 4$$

したがって、$\mathrm{AO} = h - 1 = 3$ である。直円錐と球との接点の円周を含む平面で直円錐を切断したとき、できる2つの部分のうち、円錐となるのは頂点 $\mathrm{A}$ を含む部分である。この円錐の高さを求める。これは、点 $\mathrm{A}$ から接点 $\mathrm{T}$ を含む平面までの距離に等しい。接点 $\mathrm{T}$ から線分 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、求める円錐の高さは $\mathrm{AH}$ である。

$\triangle\mathrm{ATO}$ は $\angle\mathrm{ATO} = 90^\circ$ の直角三角形であり、$\mathrm{AO} = 3$、$\mathrm{OT} = 1$ であるから、三平方の定理より、

$$\mathrm{AT} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$$

$\triangle\mathrm{ATH}$ と $\triangle\mathrm{ATO}$ は、$\angle\mathrm{A}$ が共通であり、$\angle\mathrm{AHT} = \angle\mathrm{ATO} = 90^\circ$ であるから相似である。相似比より、$\mathrm{AH} : \mathrm{AT} = \mathrm{AT} : \mathrm{AO}$ が成り立つ。

$$\mathrm{AH} = \frac{\mathrm{AT}^2}{\mathrm{AO}} = \frac{(2\sqrt{2})^2}{3} = \frac{8}{3}$$

(4)

(3)の平面で球を切断したとき、できる2つの部分のうち小さい方は、球の中心 $\mathrm{O}$ から距離 $\mathrm{OH}$ の平面で切断された、頂点 $\mathrm{A}$ 側の部分である。

$$\mathrm{OH} = \mathrm{AO} - \mathrm{AH} = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$$

求める体積は、半径 $1$ の球を、中心からの距離が $\frac{1}{3}$ の平面で切り取った小さい方の部分（球欠）の体積である。球の中心を原点とする定積分を用いて計算する。

$$\int_{\frac{1}{3}}^{1} \pi (1 - y^2) dy = \pi \left[ y - \frac{y^3}{3} \right]_{\frac{1}{3}}^{1}$$

$$= \pi \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{81} \right) \right\}$$

$$= \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{26}{81} \right) = \frac{28}{81}\pi$$

解説

空間図形の問題においては、対称軸を含む適切な平面で切断して平面図形の問題に帰着させることが定石である。本問では、直円錐の回転軸を含む平面で切断することで、直角三角形の相似の基本問題へと単純化できる。 (2)の体積の最小化では、変数 $r$ で微分して増減表を作成することも可能であるが、解答のように $t=r^2$ と置換し、式変形により相加平均と相乗平均の大小関係が使える形に持ち込む方が計算量が少なく、ミスを防ぎやすい。 (3)と(4)は、図形の性質から必要な線分の長さや平面の位置関係を正確に把握する空間認識力が求められるが、落ち着いて断面図上で処理すれば平易な積分計算に帰着する。