数学3 最大最小・解の個数問題 31 解説

方針・初手

方程式の解の存在と個数に関する証明問題である。方程式の右辺を移項して $f(x) = 0$ の形にし、関数 $f(x)$ の単調性と、具体的な代入値による符号の変化を調べる。解の存在は「中間値の定理」により示し、解がただ1つであることは導関数 $f'(x)$ の符号から「単調性」を調べることで示す。与えられた条件 $\log 2 > \frac{1}{2}$ が利用できるように $f(x)$ を設定するのがポイントである。

解法1

関数 $f(x) = \log x - \frac{1}{x} \quad (x > 0)$ とおく。

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{x} - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$$

$x > 0$ において $\frac{1}{x} > 0$ かつ $\frac{1}{x^2} > 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となる。

したがって、関数 $f(x)$ は $x > 0$ において単調に増加する。

次に、$x=1$ および $x=2$ のときの関数の値を調べる。

$$f(1) = \log 1 - \frac{1}{1} = 0 - 1 = -1 < 0$$

$$f(2) = \log 2 - \frac{1}{2}$$

問題で与えられた条件 $\log 2 > \frac{1}{2}$ より、$f(2) > 0$ である。

関数 $f(x)$ は $x > 0$ において連続であり、$f(1) < 0$ かつ $f(2) > 0$ であるから、中間値の定理により、$f(x) = 0$ を満たす $x$ が $1 < x < 2$ の範囲に少なくとも1つ存在する。

さらに、$f(x)$ は $x > 0$ において単調に増加するため、$f(x) = 0$ を満たす $x$ はただ1つである。

ゆえに、方程式 $\log x = \frac{1}{x}$ は $x > 0$ において、ただ1つの解を持つ。

解法2

方程式の両辺に $x \quad (x>0)$ を掛けて変形すると、

$$x \log x = 1 \iff x \log x - 1 = 0$$

関数 $g(x) = x \log x - 1 \quad (x > 0)$ とおく。

$g(x)$ を $x$ について微分すると、積の微分法より、

$$g'(x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

$g'(x) = 0$ とすると、$\log x = -1$ より $x = \frac{1}{e}$ である。 $x > 0$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & \frac{1}{e} & \cdots \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + \\ \hline g(x) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow \\ \end{array}$$

増減表より、関数 $g(x)$ は $x \geqq \frac{1}{e}$ の範囲において単調に増加する。

ここで、$x=1$ と $x=2$ のときの関数の値を調べる。

$$g(1) = 1 \cdot \log 1 - 1 = -1 < 0$$

$$g(2) = 2 \log 2 - 1$$

問題の条件 $\log 2 > \frac{1}{2}$ の両辺を2倍すると $2 \log 2 > 1$ となるため、$g(2) > 0$ である。

関数 $g(x)$ は連続であり、$g(1) < 0$ かつ $g(2) > 0$ であるから、中間値の定理より $1 < x < 2$ の範囲に $g(x) = 0$ を満たす解が少なくとも1つ存在する。

また、$x \geqq \frac{1}{e}$ の範囲において $g(x)$ は単調に増加するため、$x > 1$ における解はただ1つである。

一方、$0 < x \leqq 1$ の範囲について考える。増減表より $g(x)$ は $x = \frac{1}{e}$ で最小値をとるため、$0 < x \leqq 1$ における $g(x)$ の最大値は、$x \to +0$ の極限値または $g(1)$ となる。 $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ であるから $\lim_{x \to +0} g(x) = -1$ であり、また $g(1) = -1$ であるから、この範囲において常に $g(x) \leqq -1 < 0$ が成り立つ。したがって、$0 < x \leqq 1$ の範囲に解は存在しない。

ゆえに、方程式 $x \log x - 1 = 0$ すなわち $\log x = \frac{1}{x}$ は、$x > 0$ においてただ1つの解を持つ。

解説

方程式の解の存在と個数を示す微分の典型的な問題である。関数が連続であることを前提として、符号が変化する2点を見つけて「中間値の定理」から解の存在を保証し、導関数の符号から元の関数の「単調性」を示して解が一意に定まることを論理的に記述できているかが問われている。本問では、問題文のヒント $\log 2 > \frac{1}{2}$ をそのまま活かせる解法1の手法（$f(x) = \log x - \frac{1}{x}$ とおく）が、計算量も少なく最も見通しがよい。