数学3 最大最小・解の個数 問題 32 解説

方針・初手

関数の最大値・最小値を求める問題である。導関数を求めて増減表を作成し、与えられた定義域における関数の振る舞いを調べる。

解法1

与えられた関数を $f(x) = \sin 2x - x$ とおく。これを $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 2\cos 2x - 1$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると、

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$0 \leqq 2x \leqq \pi$ であるから、この方程式を満たす $2x$ の値は、

$$2x = \frac{\pi}{3}$$

すなわち、

$$x = \frac{\pi}{6}$$

となる。したがって、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

増減表より、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で極大かつ最大となる。 このときの最大値は、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} \\ &= \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

となる。

解説

三角関数を含む関数の最大・最小を求める典型的な問題である。合成関数の微分の公式を用いて正しく導関数を求められるか、そして与えられた定義域に注意して三角方程式を解き、増減表を作れるかが問われている。増減表を正確に書くことで、極大値がそのまま区間内の最大値となることが確認できる。

答え

最大値は $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$ （$x = \frac{\pi}{6}$ のとき）