数学3 最大最小・解の個数問題 33 解説

方針・初手

与えられた方程式の定数 $a$ を分離し、$(x^2+2x-2)e^{-x} = -a$ と変形する。関数 $f(x) = (x^2+2x-2)e^{-x}$ とおき、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -a$ の共有点の個数を調べることで、方程式の異なる実数解の個数を求める定数分離の解法を用いる。

解法1

与えられた方程式を変形すると、以下のようになる。

$$(x^2+2x-2)e^{-x} = -a$$

ここで、$f(x) = (x^2+2x-2)e^{-x}$ とおく。$f(x)$ を $x$ で微分すると、積の微分法より以下のようになる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (2x+2)e^{-x} + (x^2+2x-2)(-e^{-x}) \\ &= (-x^2+4)e^{-x} \\ &= -(x-2)(x+2)e^{-x} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$e^{-x} > 0$ であるから $x = -2, 2$ である。これをもとに増減表を作成すると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	$-2e^2$	$\nearrow$	$\frac{6}{e^2}$	$\searrow$

極値は以下の通りである。

極小値：$f(-2) = \{(-2)^2+2(-2)-2\}e^2 = -2e^2$

極大値：$f(2) = (2^2+2\cdot 2-2)e^{-2} = \frac{6}{e^2}$

次に、極限を調べる。$x \to \infty$ のとき、問題文で与えられた条件 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ を用いると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} f(x) &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+2x-2}{e^x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{e^x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x^2}{e^x} - \frac{2}{e^x} \right) \\ &= 0 + 0 \cdot 0 - 0 = 0 \end{aligned}$$

また、$x \to -\infty$ の極限については、$x = -t$ とおくと $x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ であり、以下のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) &= \lim_{t \to \infty} (t^2-2t-2)e^t \\ &= \lim_{t \to \infty} t^2 \left( 1 - \frac{2}{t} - \frac{2}{t^2} \right) e^t = \infty \end{aligned}$$

増減表とこれらの極限から、曲線 $y = f(x)$ の概形がわかる。求める実数解の個数は、この曲線と直線 $y = -a$ の共有点の個数に一致する。直線 $y = -a$ を上下に動かして共有点の個数を調べると、以下の場合分けとなる。

(i) $-a < -2e^2$ すなわち $a > 2e^2$ のとき、共有点は $0$ 個

(ii) $-a = -2e^2$ すなわち $a = 2e^2$ のとき、共有点は $1$ 個

(iii) $-2e^2 < -a \le 0$ すなわち $0 \le a < 2e^2$ のとき、共有点は $2$ 個

(iv) $0 < -a < \frac{6}{e^2}$ すなわち $-\frac{6}{e^2} < a < 0$ のとき、共有点は $3$ 個

(v) $-a = \frac{6}{e^2}$ すなわち $a = -\frac{6}{e^2}$ のとき、共有点は $2$ 個

(vi) $-a > \frac{6}{e^2}$ すなわち $a < -\frac{6}{e^2}$ のとき、共有点は $1$ 個

解説

定数を分離して曲線と直線の交点に帰着させる、典型的な方程式の実数解の個数問題である。直線を $y=a$ ではなく $y=-a$ として調べる点に注意が必要である。

また、右側極限が漸近線 $y=0$ を持つため、直線が漸近線と重なる $-a = 0$（すなわち $a=0$）の前後で交点の個数がどのように変わるかを正確に読み取ることが重要である。$a=0$ のときは、$x^2+2x-2=0$ の解である $x = -1 \pm \sqrt{3}$ の2個を解に持つため、交点は2個となる。