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数学3 最大最小・解の個数問題 35 解説

方針・初手

与えられた関数は微分可能であるため、導関数を求めて増減表を作成し、極値と区間の両端での値を比較して最大値と最小値を決定する。

解法1

関数 $f(x) = x - \sin 2x$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 1 - 2\cos 2x$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると、

$$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

$0 \leqq x \leqq \pi$ より $0 \leqq 2x \leqq 2\pi$ であるから、この範囲で方程式を解くと、

$$2x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$$

すなわち、

$$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$$

これより、$0 \leqq x \leqq \pi$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{6}$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$\pi$

極値および区間の両端における関数値をそれぞれ計算する。

$$\begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= \frac{5\pi}{6} - \sin\frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f(\pi) &= \pi \end{aligned}$$

ここで、これらの値の大小を比較する。まず、$f(0)$ と $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ について比較する。 $\pi \approx 3.14$、$\sqrt{3} \approx 1.73$ より $3\sqrt{3} \approx 5.19$ であるから、$\pi < 3\sqrt{3}$ が成り立つ。したがって、

$$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi - 3\sqrt{3}}{6} < 0 = f(0)$$

よって、最小値は $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ である。

次に、$f(\pi)$ と $f\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ について比較する。差をとって調べると、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{5\pi}{6}\right) - f(\pi) &= \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \pi \\ &= \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6} \end{aligned}$$

ここで、$3\sqrt{3} = \sqrt{27}$、$\pi < 4 = \sqrt{16}$ であるから、$\sqrt{27} > \pi$ が成り立つ。したがって、

$$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) - f(\pi) > 0$$

すなわち、$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) > f(\pi)$ となる。よって、最大値は $f\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ である。

解説

微分法を用いた最大値・最小値問題の基本的な解法パターンである。増減表を正確に書くことと、最終的な候補となる値同士の大小比較を論理的に行うことが求められる。特に、極小値と左端点、極大値と右端点の比較において、$\pi$ と $3\sqrt{3}$ などの無理数を含んだ値の大小比較を正確に行えるかがポイントとなる。大小比較の際は、無理数の近似値を用いたり、大小関係が明らかな整数を間に挟んで比較したりする手法が有効である（本解答では $\pi < 4 < \sqrt{27}$ の関係を用いた）。