数学3 最大最小・解の個数問題 36 解説

方針・初手

(1) は、関数が $x=1$ で極値をとるための必要条件である $f'(1) = 0$ から定数 $c$ の値を求めます。求めた $c$ の値に対して、実際に $x=1$ で極値をとるかの十分性の確認を忘れないようにします。

(2) は、(1) で求めた $c$ を代入した関数について導関数 $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

(3) は、与えられた方程式の形を変形し、定数 $k$ を分離します。定数分離を用いることで、方程式の実数解の個数や存在条件を、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の問題として図形的に処理できます。その際、$x \to \pm\infty$ のときの極限を調べ、グラフの概形ととりうる値の範囲を正確に把握します。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = (x+c)e^{-x^2}$$

これを $x$ について微分すると、積の微分法と合成関数の微分法により次のようになる。

$$f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + (x+c) \cdot (-2x)e^{-x^2} = (-2x^2 - 2cx + 1)e^{-x^2}$$

$f(x)$ が $x=1$ で極値をとるための必要条件は $f'(1) = 0$ である。

$$f'(1) = (-2 - 2c + 1)e^{-1} = -(2c + 1)e^{-1} = 0$$

$e^{-1} \neq 0$ であるから、

$$2c + 1 = 0$$

これより、

$$c = -\frac{1}{2}$$

逆にこのとき、$f'(x)$ は次のように因数分解できる。

$$f'(x) = \left(-2x^2 + x + 1\right)e^{-x^2} = -(2x+1)(x-1)e^{-x^2}$$

$e^{-x^2} > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $-(2x+1)(x-1)$ の符号と一致する。したがって、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負に変化し、$f(x)$ は $x=1$ で極大値をとり、条件を満たす。

よって、求める定数 $c$ の値は $c = -\frac{1}{2}$ である。

(2)

(1) より $c = -\frac{1}{2}$ であるから、

$$f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)e^{-x^2}$$

$$f'(x) = -(2x+1)(x-1)e^{-x^2}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -\frac{1}{2}, 1$ である。関数の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	$-e^{-\frac{1}{4}}$	$\nearrow$	$\frac{1}{2}e^{-1}$	$\searrow$

ゆえに、$f(x)$ の増減は以下の通りである。 $x \leqq -\frac{1}{2}$ のとき単調に減少する。 $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき単調に増加する。 $x \geqq 1$ のとき単調に減少する。

(3)

与えられた方程式に $c = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$$x - \frac{1}{2} = ke^{x^2}$$

両辺に $e^{-x^2}$ を掛けると、次の方程式を得る。

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)e^{-x^2} = k$$

すなわち、

$$f(x) = k$$

この方程式が実数解をもつための条件は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ が共有点をもつことである。曲線 $y=f(x)$ の概形を描くために、(2) の増減に加えて $x \to \pm\infty$ の極限を調べる。

問題文で与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} xe^{-x^2} = 0$ と、$\lim_{x\to\infty} e^{-x^2} = 0$ を用いると、

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \left(xe^{-x^2} - \frac{1}{2}e^{-x^2}\right) = 0 - 0 = 0$$

また、$x \to -\infty$ の極限について、$t = -x$ とおくと $x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ となる。

$$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{t\to\infty} \left(-t - \frac{1}{2}\right)e^{-t^2} = \lim_{t\to\infty} \left(-te^{-t^2} - \frac{1}{2}e^{-t^2}\right) = -0 - 0 = 0$$

これと (2) の増減表から、関数 $f(x)$ は $x = -\frac{1}{2}$ で最小値 $-e^{-\frac{1}{4}}$ をとり、$x = 1$ で最大値 $\frac{1}{2}e^{-1}$ をとることがわかる。また、曲線は $x$ 軸を漸近線にもつ。したがって、$f(x)$ のとりうる値の範囲は、

$$-e^{-\frac{1}{4}} \leqq f(x) \leqq \frac{1}{2}e^{-1}$$

曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ が共有点をもつための $k$ の条件は、直線 $y=k$ がこの範囲の高さにあることである。よって、求める定数 $k$ の値の範囲は、

$$-e^{-\frac{1}{4}} \leqq k \leqq \frac{1}{2}e^{-1}$$

解説

(1) では「極値をとる $\implies$ 導関数が0になる」という必要条件から候補を絞り、その後に十分性を確認する手順を踏むことが重要です。微積分において、導関数が0になっても極値とならない関数（例えば $y=x^3$ の $x=0$ での振る舞い）が存在するため、この確認を怠ると減点対象になり得ます。

(3) の「定数分離」は、方程式の実数解の存在範囲や個数を調べる際の定石です。方程式の片辺に定数のみを寄せ、もう片辺を関数として扱うことで、グラフの上下関係に帰着させることができます。極限を求める際、$x \to -\infty$ の極限も与えられた $x \to \infty$ の条件を用いて丁寧に導出することがポイントです。