数学3 最大最小・解の個数問題 37 解説

方針・初手

対角線 $AC$ で四角形を $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ の2つに分割し、それぞれの面積を $t = x^2$ を用いて表す。 3辺の長さが分かっている三角形の面積を求めるため、ヘロンの公式の変形公式を用いるか、余弦定理を利用して $\sin$ を求めるのが定石である。得られた面積 $S$ の式を $t$ で微分し、最大値を与える $t$ の値を求める。

解法1

$\triangle ABC$ の3辺の長さは $1, 2, x$、$\triangle ADC$ の3辺の長さは $3, 4, x$ である。三角形の3辺の長さを $a, b, c$ としたとき、面積はヘロンの公式の変形により $\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2}$ と表される。

$\triangle ABC$ の面積を $S_1$ とすると、

$$\begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{4}\sqrt{4 \cdot 1^2 \cdot 2^2 - (1^2 + 2^2 - x^2)^2} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{16 - (5 - t)^2} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{-t^2 + 10t - 9} \end{aligned}$$

$\triangle ADC$ の面積を $S_2$ とすると、

$$\begin{aligned} S_2 &= \frac{1}{4}\sqrt{4 \cdot 3^2 \cdot 4^2 - (3^2 + 4^2 - x^2)^2} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{576 - (25 - t)^2} \\ &= \frac{1}{4}\sqrt{-t^2 + 50t - 49} \end{aligned}$$

したがって、四角形ABCDの面積 $S$ はこれらの和であるため、以下のように表される。

$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4}\left(\sqrt{-t^2 + 10t - 9} + \sqrt{-t^2 + 50t - 49}\right)$$

（または $S = \frac{\sqrt{t-1}(\sqrt{9-t} + \sqrt{49-t})}{4}$ と因数分解した形でもよい）

次に、$S$ が最大となる $t$ を求める。 $\triangle ABC$ の成立条件より $|2-1| < x < 2+1$、すなわち $1 < t < 9$ である。 $\triangle ADC$ の成立条件より $|4-3| < x < 4+3$、すなわち $1 < t < 49$ である。これらを同時に満たす $t$ の範囲は $1 < t < 9$ となる。

この範囲において $S$ を $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= \frac{1}{4} \left( \frac{-2t+10}{2\sqrt{-t^2+10t-9}} + \frac{-2t+50}{2\sqrt{-t^2+50t-49}} \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{5-t}{\sqrt{-t^2+10t-9}} + \frac{25-t}{\sqrt{-t^2+50t-49}} \right) \end{aligned}$$

$\frac{dS}{dt} = 0$ とおくと、

$$\frac{t-5}{\sqrt{-t^2+10t-9}} = \frac{25-t}{\sqrt{-t^2+50t-49}}$$

両辺を2乗して分母を払うと、

$$(t-5)^2 (-t^2 + 50t - 49) = (25-t)^2 (-t^2 + 10t - 9)$$

展開して整理する。

$$(t^2 - 10t + 25)(-t^2 + 50t - 49) = (t^2 - 50t + 625)(-t^2 + 10t - 9)$$

$$-t^4 + 60t^3 - 574t^2 + 1740t - 1225 = -t^4 + 60t^3 - 1134t^2 + 6700t - 5625$$

$$560t^2 - 4960t + 4400 = 0$$

両辺を $80$ で割る。

$$7t^2 - 62t + 55 = 0$$

$$(7t - 55)(t - 1) = 0$$

$1 < t < 9$ より、$t = \frac{55}{7}$ である。 $t = \frac{55}{7}$ の前後で $\frac{dS}{dt}$ の符号は正から負に変化するため、$S$ は $t = \frac{55}{7}$ のとき最大値をとる。

解法2

$\angle B = \theta_1$、$\angle D = \theta_2$ とおく。 $\triangle ABC$ と $\triangle ADC$ において余弦定理を適用すると、

$$x^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos \theta_1 \implies t = 5 - 4\cos \theta_1$$

$$x^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos \theta_2 \implies t = 25 - 24\cos \theta_2$$

これらから $t$ を消去すると、

$$5 - 4\cos \theta_1 = 25 - 24\cos \theta_2 \implies \cos \theta_1 - 6\cos \theta_2 = -5$$

これを満たしながら $\theta_1$ が変化するときの面積 $S$ の最大値を考える。

$$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \sin \theta_2 = \sin \theta_1 + 6\sin \theta_2$$

条件式 $\cos \theta_1 - 6\cos \theta_2 = -5$ の両辺を $\theta_1$ で微分する。

$$-\sin \theta_1 + 6\sin \theta_2 \cdot \frac{d\theta_2}{d\theta_1} = 0 \implies \frac{d\theta_2}{d\theta_1} = \frac{\sin \theta_1}{6\sin \theta_2}$$

面積 $S$ を $\theta_1$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{dS}{d\theta_1} &= \cos \theta_1 + 6\cos \theta_2 \cdot \frac{d\theta_2}{d\theta_1} \\ &= \cos \theta_1 + 6\cos \theta_2 \left( \frac{\sin \theta_1}{6\sin \theta_2} \right) \\ &= \frac{\sin \theta_2 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \sin \theta_1}{\sin \theta_2} \\ &= \frac{\sin(\theta_1 + \theta_2)}{\sin \theta_2} \end{aligned}$$

$\frac{dS}{d\theta_1} = 0$ となるのは $\sin(\theta_1 + \theta_2) = 0$ のときである。凸四角形の内角の和に関する制約から $0^\circ < \theta_1 + \theta_2 < 360^\circ$ であるため、$\theta_1 + \theta_2 = 180^\circ$ となる。すなわち、四角形ABCDが円に内接するときに面積は最大となる。

$\theta_1 + \theta_2 = 180^\circ$ のとき $\cos \theta_2 = \cos(180^\circ - \theta_1) = -\cos \theta_1$ であるから、余弦定理から得た $\cos \theta_1 = \frac{5-t}{4}$ と $\cos \theta_2 = \frac{25-t}{24}$ を代入する。

$$\frac{25-t}{24} = -\frac{5-t}{4}$$

$$25 - t = -6(5 - t)$$

$$25 - t = -30 + 6t$$

$$7t = 55 \implies t = \frac{55}{7}$$

面積 $S$ は、$\sin \theta_1 = \sqrt{1-\cos^2 \theta_1} = \frac{\sqrt{16-(5-t)^2}}{4}$ などとして解法1と同様の式として表される。

解説

四辺の長さが定まっている四角形の面積は、その四角形が円に内接するときに最大になるという有名な性質を背景にした問題である。解法1のように素直に面積を $t$ で表して微分する方針は計算量がやや多くなるが、正確に処理すれば確実に正答に辿り着ける。その際、無縁根の混入を防ぐため、導関数の分子どうしを方程式で結ぶ過程で2乗する際などの条件に留意し、定義域と増減を確認することが重要である。解法2のように、偏微分の考え方（陰関数の微分法）を用いて角度の関係に帰着させる方法は、計算量が大幅に削減されるうえ、図形的な意味（円に内接する）が明らかになる非常にエレガントな手法である。