数学3 最大最小・解の個数問題 43 解説

方針・初手

問題の条件より、三角形の3つの内角の和が $\pi$ であることを利用して $\gamma$ を $\alpha, \beta$ で表します。面積については、内接円の半径と三角形の各辺がなす図形（直角三角形）に分割して考え、$\alpha, \beta, \gamma$ を用いて面積 $S$ を表します。その後は $\gamma=t$ が定数であるため、残りの $\alpha, \beta$ を動かしたときの最小値を考え、最後に $t$ を動かして全体の最小値を求めます。

解法1

(1)

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$\angle\text{A} + \angle\text{B} + \angle\text{C} = \pi$ が成り立つ。両辺を $2$ で割ると、

$$\frac{\angle\text{A}}{2} + \frac{\angle\text{B}}{2} + \frac{\angle\text{C}}{2} = \frac{\pi}{2}$$

これを変形して正接をとると、

$$\begin{aligned} \gamma &= \tan\frac{\angle\text{C}}{2} \\ &= \tan\left( \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\angle\text{A}}{2} + \frac{\angle\text{B}}{2} \right) \right) \\ &= \frac{1}{\tan\left( \frac{\angle\text{A}}{2} + \frac{\angle\text{B}}{2} \right)} \end{aligned}$$

加法定理より、

$$\tan\left( \frac{\angle\text{A}}{2} + \frac{\angle\text{B}}{2} \right) = \frac{\tan\frac{\angle\text{A}}{2} + \tan\frac{\angle\text{B}}{2}}{1 - \tan\frac{\angle\text{A}}{2}\tan\frac{\angle\text{B}}{2}} = \frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha\beta}$$

したがって、$\gamma$ は次のように表される。

$$\gamma = \frac{1 - \alpha\beta}{\alpha + \beta}$$

(2)

$\triangle\text{ABC}$ の内心を $\text{I}$ とし、辺 $\text{BC}, \text{CA}, \text{AB}$ と内接円との接点をそれぞれ $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ とする。内接円の半径が $1$ であるから、$\text{IP} = \text{IQ} = \text{IR} = 1$ である。直角三角形 $\text{IAR}$ において、

$$\text{AR} = \frac{\text{IR}}{\tan\frac{\angle\text{A}}{2}} = \frac{1}{\alpha}$$

同様に、各頂点から接点までの距離は、

$$\begin{aligned} \text{AR} &= \text{AQ} = \frac{1}{\alpha} \\ \text{BP} &= \text{BR} = \frac{1}{\beta} \\ \text{CP} &= \text{CQ} = \frac{1}{\gamma} \end{aligned}$$

となる。$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は、$\text{I}$ と各頂点を結んでできる $6$ つの直角三角形の面積の和であるから、

$$\begin{aligned} S &= 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot 1 \right) + 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\beta} \cdot 1 \right) + 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\gamma} \cdot 1 \right) \\ &= \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \end{aligned}$$

(1)より $\gamma = \frac{1 - \alpha\beta}{\alpha + \beta}$ であり、問題の条件より $\gamma = t$ であるから、

$$t = \frac{1 - \alpha\beta}{\alpha + \beta}$$

分母を払って整理すると、

$$\begin{aligned} t(\alpha + \beta) &= 1 - \alpha\beta \\ \alpha\beta + t(\alpha + \beta) &= 1 \\ (\alpha + t)(\beta + t) &= 1 + t^2 \end{aligned}$$

$\triangle\text{ABC}$ の内角は正であるため、$\alpha > 0, \beta > 0$ である。面積 $S$ を $t, \alpha, \beta$ を用いて表すと、

$$S = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} + \frac{1}{t}$$

ここで、$\alpha + \beta = \frac{1 - \alpha\beta}{t}$ であるから、

$$S = \frac{1 - \alpha\beta}{t\alpha\beta} + \frac{1}{t} = \frac{1}{t\alpha\beta} - \frac{1}{t} + \frac{1}{t} = \frac{1}{t\alpha\beta}$$

$t$ が定数であるとき、$S$ が最小になるのは $\alpha\beta$ が最大となるときである。 $\alpha + t > 0, \beta + t > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$\alpha + \beta + 2t = (\alpha + t) + (\beta + t) \geqq 2\sqrt{(\alpha + t)(\beta + t)} = 2\sqrt{1 + t^2}$$

等号は $\alpha + t = \beta + t$、すなわち $\alpha = \beta$ のときに成り立つ。このとき、$(\alpha + t)^2 = 1 + t^2$ であり、$\alpha + t > 0$ より $\alpha + t = \sqrt{1 + t^2}$、すなわち $\alpha = \beta = \sqrt{1 + t^2} - t$ である。このときの $\alpha\beta$ の値は、

$$\alpha\beta = (\sqrt{1 + t^2} - t)^2 = 1 + t^2 - 2t\sqrt{1 + t^2} + t^2 = 2t^2 + 1 - 2t\sqrt{1 + t^2}$$

したがって、面積の最小値は、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{t(2t^2 + 1 - 2t\sqrt{1 + t^2})} \\ &= \frac{2t^2 + 1 + 2t\sqrt{1 + t^2}}{t( (2t^2 + 1)^2 - (2t\sqrt{1 + t^2})^2 )} \\ &= \frac{2t^2 + 1 + 2t\sqrt{1 + t^2}}{t( 4t^4 + 4t^2 + 1 - 4t^2(1 + t^2) )} \\ &= \frac{2t^2 + 1 + 2t\sqrt{1 + t^2}}{t( 4t^4 + 4t^2 + 1 - 4t^2 - 4t^4 )} \\ &= \frac{2t^2 + 1 + 2t\sqrt{1 + t^2}}{t} \\ &= 2t + \frac{1}{t} + 2\sqrt{1 + t^2} \end{aligned}$$

(3)

(2)で求めた最小値を $f(t)$ とおく。$f(t)$ の $t > 0$ における最小値を求めればよい。

$$f(t) = 2t + \frac{1}{t} + 2\sqrt{1 + t^2}$$

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(t) &= 2 - \frac{1}{t^2} + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + t^2}} \cdot 2t \\ &= \frac{2t^2 - 1}{t^2} + \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}} \end{aligned}$$

$f'(t) = 0$ とおくと、

$$\frac{1 - 2t^2}{t^2} = \frac{2t}{\sqrt{1 + t^2}}$$

$t > 0$ であり、右辺は正であるから、左辺も正でなければならない。したがって、$1 - 2t^2 > 0$ すなわち $0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ が必要である。この条件のもとで両辺を $2$ 乗すると、

$$\frac{(1 - 2t^2)^2}{t^4} = \frac{4t^2}{1 + t^2}$$

分母を払って整理すると、

$$\begin{aligned} (1 - 4t^2 + 4t^4)(1 + t^2) &= 4t^6 \\ 1 + t^2 - 4t^2 - 4t^4 + 4t^4 + 4t^6 &= 4t^6 \\ 1 - 3t^2 &= 0 \end{aligned}$$

$t > 0$ より、$t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を得る。これは $0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす。 $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ の前後で $f'(t)$ の符号は負から正へと変化するため、ここで極小かつ最小となる。このときの最小値は、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \sqrt{3} + 2\sqrt{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2\sqrt{\frac{4}{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} \\ &= \frac{6\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \end{aligned}$$

解説

図形の幾何的な性質と、式変形による最大・最小を融合した総合問題です。 (2)における面積 $S$ の表し方について、直接 $S = \frac{1}{2}(a+b+c)r$ から求めてもよいですし、内心を通る線分で分割した直角三角形の面積を足し合わせても求められます。ここでは対称性を保ちながら $\alpha, \beta, \gamma$ を扱うことがポイントとなります。 (2)の後半で $\alpha\beta$ の最大値を求める際、関係式を $(\alpha+t)(\beta+t) = 1+t^2$ と見立てて相加平均と相乗平均の大小関係を利用する式変形は、受験数学において差がつきやすい技巧的な部分です。 (3)は、素直に微分して無理方程式を解くことで導出できます。$1-2t^2 > 0$ のような同値変形の条件（両辺が同符号であること）を落とさないよう注意が必要です。結果的に正三角形のときに面積が最小になるという幾何的直感とも一致します。