数学3 最大最小・解の個数問題 47 解説

方針・初手

半直線 $l_1$、$l_2$ の偏角を $\theta$ を用いて表す。円 $C$ が $l_1, l_2$ の両方に接することから、中心 P が $l_1, l_2$ のなす角の二等分線上にあることを利用し、直角三角形から原点 O と中心 P の距離を求める。

(2) については、中心 P の $y$ 座標を $\theta$ の式で立式し、微分法を用いて最大値を調べる。

解法1

(1)

$x$ 軸の正の部分を始線とし、反時計回りを正とする偏角を考える。

$l_2$ の回転速度は $l_1$ の2倍であり、同時に回転し始めるため、$l_1$ が $\theta$ 回転したとき、$l_2$ は $2\theta$ 回転する。

初期状態において $l_1$ は偏角 $0$、$l_2$ は偏角 $\frac{\pi}{2}$ の位置にあるから、角 $\theta$ だけ回転したときの偏角はそれぞれ次のようになる。

$l_1$: $\theta$

$l_2$: $\frac{\pi}{2} + 2\theta$

これら2つの半直線のなす角は、反時計回りに測って次のように計算できる。

$$\left(\frac{\pi}{2} + 2\theta\right) - \theta = \frac{\pi}{2} + \theta$$

円 $C$ は $l_1$ と $l_2$ の両方に接するため、その中心を $\mathrm{P}$ とすると、点 $\mathrm{P}$ は $l_1, l_2$ のなす角の二等分線上にある。

したがって、半直線 $\mathrm{OP}$ と $l_1$ のなす角は次のようになる。

$$\frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}$$

円 $C$ は半径 $1$ で $l_1$ に接するため、点 $\mathrm{P}$ から $l_1$ に下ろした垂線の長さは $1$ である。

直角三角形の辺の比の性質から、以下が成り立つ。

$$\mathrm{OP} \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = 1$$

よって、求める距離 $\mathrm{OP}$ は次のように表される。

$$\mathrm{OP} = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)}$$

(2)

円 $C$ の中心 $\mathrm{P}$ の偏角を $\beta$ とすると、 $\beta$ は $l_1$ の偏角に $\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}$ を加えたものであるから、次のようになる。

$$\beta = \theta + \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \frac{3}{2}\theta + \frac{\pi}{4}$$

$\mathrm{P}$ の $y$ 座標を $y_P$ とおくと、$y_P = \mathrm{OP} \sin \beta$ より以下を得る。

$$y_P = \frac{\sin\left(\frac{3}{2}\theta + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)}$$

$y_P$ を $\theta$ について微分する。商の微分法を用いると次のようになる。

$$\frac{dy_P}{d\theta} = \frac{ \frac{3}{2}\cos\left(\frac{3}{2}\theta + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{3}{2}\theta + \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) }{ \sin^2\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) }$$

分子に積和の公式を適用する。

$$\text{分子} = \frac{3}{4}\left\{ \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) - \sin\theta \right\} - \frac{1}{4}\left\{ \sin\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\theta \right\}$$

$$= \frac{2}{4}\sin\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{4}{4}\sin\theta$$

$$= \frac{1}{2}\cos 2\theta - \sin\theta$$

さらに倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いて変形する。

$$\text{分子} = \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2\theta) - \sin\theta = -\left(\sin^2\theta + \sin\theta - \frac{1}{2}\right)$$

ここで $\frac{dy_P}{d\theta} = 0$ となる $\theta$ を求める。分母は正であるから分子が $0$ となればよく、次の方程式を得る。

$$\sin^2\theta + \sin\theta - \frac{1}{2} = 0$$

$$2\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta \geqq 0$ であるから、これを解いて次の値を得る。

$$\sin\theta = \frac{-1 + \sqrt{1 - 2\cdot(-1)}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$

この $\sin\theta$ の値を満たす $\theta$ を $\theta_0$ とおく。

$0 < \theta < \theta_0$ において導関数の分子は正となるため $\frac{dy_P}{d\theta} > 0$ であり、 $\theta_0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において分子は負となるため $\frac{dy_P}{d\theta} < 0$ となる。

したがって、 $y_P$ は $\theta = \theta_0$ のとき極大かつ最大となる。

解法2

(2) の別解

$\phi = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$ とおいて、$y_P$ を $\phi$ の式で表す。

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、 $\phi$ の取りうる範囲は $\frac{\pi}{4} \leqq \phi \leqq \frac{\pi}{2}$ である。

$\frac{3}{2}\theta + \frac{\pi}{4} = 3\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{2} = 3\phi - \frac{\pi}{2}$ となるため、 $y_P$ は次のように書き換えられる。

$$y_P = \frac{\sin\left(3\phi - \frac{\pi}{2}\right)}{\sin\phi} = \frac{-\cos 3\phi}{\sin\phi}$$

３倍角の公式 $\cos 3\phi = 4\cos^3\phi - 3\cos\phi$ を用いると次のようになる。

$$y_P = \frac{3\cos\phi - 4\cos^3\phi}{\sin\phi}$$

これを $\phi$ について微分する。

$$\frac{dy_P}{d\phi} = \frac{ (-3\sin\phi + 12\cos^2\phi\sin\phi)\sin\phi - (3\cos\phi - 4\cos^3\phi)\cos\phi }{ \sin^2\phi }$$

$$= \frac{ -3\sin^2\phi + 12\cos^2\phi\sin^2\phi - 3\cos^2\phi + 4\cos^4\phi }{ \sin^2\phi }$$

分子を $\cos\phi$ の式に統一する。 $\sin^2\phi = 1 - \cos^2\phi$ を用いると次のように整理できる。

$$\text{分子} = -3(\sin^2\phi + \cos^2\phi) + 12\cos^2\phi(1 - \cos^2\phi) + 4\cos^4\phi$$

$$= -3 + 12\cos^2\phi - 8\cos^4\phi$$

$$= - (8\cos^4\phi - 12\cos^2\phi + 3)$$

さらに倍角の公式 $\cos^2\phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ を用いて次数を下げる。

$$8\cos^4\phi - 12\cos^2\phi + 3 = 8\left(\frac{1 + \cos 2\phi}{2}\right)^2 - 12\left(\frac{1 + \cos 2\phi}{2}\right) + 3$$

$$= 2(1 + 2\cos 2\phi + \cos^2 2\phi) - 6(1 + \cos 2\phi) + 3$$

$$= 2\cos^2 2\phi - 2\cos 2\phi - 1$$

よって、 $\frac{dy_P}{d\phi} = 0$ となるのは $2\cos^2 2\phi - 2\cos 2\phi - 1 = 0$ のときである。これを解くと次のようになる。

$$\cos 2\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2\cdot(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$

ここで、 $\phi = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$ より $2\phi = \theta + \frac{\pi}{2}$ であるから、以下が成り立つ。

$$\cos 2\phi = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta$$

よって、次の方程式を得る。

$$-\sin\theta = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $0 \leqq \sin\theta \leqq 1$ であるから、条件を満たすのは以下の場合に限られる。

$$\sin\theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$

この値の前後で $\frac{dy_P}{d\phi}$ の符号は正から負へ変化するため、 $y_P$ は最大値をとる。

解説

回転する2直線のなす角の二等分線を考える図形問題と、三角関数の微積分の融合問題である。

(1) は、円が角に接するという条件から、中心が角の二等分線上にあることを見抜くことが重要である。

(2) は $y$ 座標を立式したのち、三角関数の微分計算の工夫が問われる。解法1のように積和の公式を活用して $\sin\theta$ や $\cos 2\theta$ の1次式に落とし込むか、解法2のように置換を利用して倍角や3倍角の公式を用いるか、方針によって計算の見通しが大きく変わる。