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数学3 最大最小・解の個数問題 49 解説

方針・初手

(1) は、合成関数の微分法および商の微分法を用いて、第1次導関数と第2次導関数を計算する。
(2) は、第1次導関数の符号変化を調べ、極値を求める。
(3) は、第2次導関数の符号変化を調べ、変曲点を求める。(2)と合わせた増減・凹凸の表を作成し、グラフの概形の特徴を捉える。
(4) は、方程式の解の個数を、(3) で考察した $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数に帰着させて視覚的に求める。

解法1

(1)

$f(x) = \log(\sin x + 2)$ を微分する。合成関数の微分法より、

$$f'(x) = \frac{(\sin x + 2)'}{\sin x + 2} = \frac{\cos x}{\sin x + 2}$$

さらに $f'(x)$ を微分する。商の微分法より、

$$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{(\cos x)'(\sin x + 2) - \cos x(\sin x + 2)'}{(\sin x + 2)^2} \\ &= \frac{-\sin x(\sin x + 2) - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x + 2)^2} \\ &= \frac{-\sin^2 x - 2\sin x - \cos^2 x}{(\sin x + 2)^2} \\ &= \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x}{(\sin x + 2)^2} \\ &= \frac{-1 - 2\sin x}{(\sin x + 2)^2} \\ &= -\frac{2\sin x + 1}{(\sin x + 2)^2} \end{aligned}$$

(2)

極値を求めるために $f'(x) = 0$ となる $x$ を探す。

$0 < x < 2\pi$ において $\sin x + 2 > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $\cos x = 0$ のときである。

$0 < x < 2\pi$ の範囲では、

$$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$

(3)

変曲点を求めるために $f''(x) = 0$ となる $x$ を探す。

$(\sin x + 2)^2 > 0$ より、$f''(x) = 0$ となるのは $2\sin x + 1 = 0$、すなわち $\sin x = -\frac{1}{2}$ のときである。

$0 < x < 2\pi$ の範囲では、

$$x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$$

(2) と合わせて $f(x)$ の増減と凹凸を調べると、以下の増減表が得られる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{7\pi}{6}$	$\cdots$	$\frac{3\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{11\pi}{6}$	$\cdots$	$(2\pi)$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f''(x)$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$(\log 2)$	$\nearrow$	$\log 3$	$\searrow$	$\log\frac{3}{2}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$\log\frac{3}{2}$	$\nearrow$	$(\log 2)$

増減表より、極値は以下のようになる。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき極大値 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \log(\sin\frac{\pi}{2} + 2) = \log 3$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき極小値 $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \log(\sin\frac{3\pi}{2} + 2) = \log 1 = 0$

変曲点の座標は、関数値を計算して以下のようになる。

$$\left( \frac{7\pi}{6}, \log\frac{3}{2} \right), \quad \left( \frac{11\pi}{6}, \log\frac{3}{2} \right)$$

また、端点の極限は $x \to +0$ のとき $f(x) \to \log 2$、$x \to 2\pi-0$ のとき $f(x) \to \log 2$ であり、区間内で $y = \log 2$ となるのは $x = \pi$ のときである。

グラフの概形は、これらの極値や変曲点を通り、両端で $y = \log 2$ に近づく（端点を含まない）曲線となる。

(4)

方程式 $\log(\sin x + 2) - k = 0$ は $f(x) = k$ と変形できる。

この方程式の $0 < x < 2\pi$ における解の個数は、$xy$ 平面上の曲線 $y = f(x) \quad (0 < x < 2\pi)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数に等しい。

(3) で調べた増減とグラフの形状を基に、直線 $y = k$ を上下に動かして共有点の個数を調べると、以下のようになる。

$k > \log 3$ のとき：0個
$k = \log 3$ のとき：1個（極大点で接する）
$\log 2 < k < \log 3$ のとき：2個
$k = \log 2$ のとき：1個（$x = \pi$ のみ。端点は定義域外であることに注意）
$0 < k < \log 2$ のとき：2個
$k = 0$ のとき：1個（極小点で接する）
$k < 0$ のとき：0個

解法2

(4)の別解

方程式を同値変形することで、より扱いやすい関数のグラフに帰着させる。

$$\log(\sin x + 2) - k = 0$$

$$\log(\sin x + 2) = k$$

対数の定義より、

$$\sin x + 2 = e^k$$

$$\sin x = e^k - 2$$

$0 < x < 2\pi$ において、この方程式の解の個数は、曲線 $y = \sin x \quad (0 < x < 2\pi)$ と直線 $y = e^k - 2$ の共有点の個数に等しい。

$y = \sin x \quad (0 < x < 2\pi)$ のグラフを考えると、共有点の個数は定数 $e^k - 2$ の値によって以下のように分類できる。

$e^k - 2 > 1$ すなわち $e^k > 3 \iff k > \log 3$ のとき：0個
$e^k - 2 = 1$ すなわち $e^k = 3 \iff k = \log 3$ のとき：1個
$0 < e^k - 2 < 1$ すなわち $2 < e^k < 3 \iff \log 2 < k < \log 3$ のとき：2個
$e^k - 2 = 0$ すなわち $e^k = 2 \iff k = \log 2$ のとき：1個
$-1 < e^k - 2 < 0$ すなわち $1 < e^k < 2 \iff 0 < k < \log 2$ のとき：2個
$e^k - 2 = -1$ すなわち $e^k = 1 \iff k = 0$ のとき：1個
$e^k - 2 < -1$ すなわち $e^k < 1 \iff k < 0$ のとき：0個

解説

本問は、微分の計算と増減表・グラフの作成、およびそれを利用した方程式の解の個数問題という、数学III（または微積）の標準的な流れを汲む問題である。
第2次導関数の計算において、分子を展開・整理する際に $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて簡略化することが計算ミスを防ぐポイントである。
(4) では、解法1のように $y = f(x)$ のグラフをそのまま用いる場合、定義域の端点である $x = 0, 2\pi$ が含まれないこと（白丸になること）に注意が必要である。これにより $y = \log 2$ との交点が区間内に $x = \pi$ の 1 つだけ存在することを見落とさないようにしたい。
解法2で示したように、方程式を $\sin x = e^k - 2$ の形に変形すると、馴染み深いサインカーブを用いて視覚的に解の個数を判別できるため、非常に見通しが良くなり、検算としても有効である。