数学3 最大最小・解の個数問題 50 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ の式に現れる $\sin x \cos t - \cos x \sin t$ は、加法定理の形になっているため、まずはこれを $\sin(x-t)$ にまとめる。 (1)では $t$ を定数とみなして $f(x)$ を $x$ について微分し、与えられた定義域 $t \leqq x \leqq 2\pi$ における増減を調べる。 (2)では、(1)で求めた最大値 $g(t)$ を今度は $t$ の関数とみなし、$t$ で微分して $0 < t < 2\pi$ における増減を調べる。

解法1

(1)

与えられた関数は、加法定理より次のように変形できる。

$$f(x) = \sin(x-t) - \sin x + \sin t$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、以下のようになる。

$$f'(x) = \cos(x-t) - \cos x$$

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ を用いて変形する。

$$f'(x) = -2\sin\left(\frac{x-t+x}{2}\right)\sin\left(\frac{x-t-x}{2}\right)$$

$$f'(x) = -2\sin\left(x-\frac{t}{2}\right)\sin\left(-\frac{t}{2}\right)$$

$$f'(x) = 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\sin\left(x-\frac{t}{2}\right)$$

ここで、条件 $0 < t < 2\pi$ より $0 < \frac{t}{2} < \pi$ であるから、$\sin\left(\frac{t}{2}\right) > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $\sin\left(x-\frac{t}{2}\right)$ の符号と一致する。

$x$ の定義域は $t \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$x-\frac{t}{2}$ のとり得る値の範囲は次のようになる。

$$\frac{t}{2} \leqq x-\frac{t}{2} \leqq 2\pi-\frac{t}{2}$$

$0 < \frac{t}{2} < \pi$ であることから、この範囲内に $x-\frac{t}{2} = \pi$ となる $x$ がただ1つ存在する。すなわち、$x = \pi + \frac{t}{2}$ のとき $f'(x) = 0$ となる。（$t < \pi + \frac{t}{2} < 2\pi$ は $0 < t < 2\pi$ より常に成り立つため、この $x$ は定義域内に含まれる）

$x$ が $t$ から $2\pi$ まで動くときの $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$t$	$\cdots$	$\pi + \frac{t}{2}$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = \pi + \frac{t}{2}$ のとき最大となる。したがって、最大値 $g(t)$ は次のように求められる。

$$g(t) = f\left(\pi + \frac{t}{2}\right)$$

$$g(t) = \sin\left(\pi + \frac{t}{2} - t\right) - \sin\left(\pi + \frac{t}{2}\right) + \sin t$$

$$g(t) = \sin\left(\pi - \frac{t}{2}\right) - \sin\left(\pi + \frac{t}{2}\right) + \sin t$$

$$g(t) = \sin\left(\frac{t}{2}\right) - \left(-\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \sin t$$

$$g(t) = 2\sin\left(\frac{t}{2}\right) + \sin t$$

(2)

(1)より $g(t) = 2\sin\left(\frac{t}{2}\right) + \sin t$ であるから、これを $t$ について微分する。

$$g'(t) = 2 \cdot \frac{1}{2}\cos\left(\frac{t}{2}\right) + \cos t$$

$$g'(t) = \cos\left(\frac{t}{2}\right) + \cos t$$

2倍角の公式 $\cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$ を用いて $\frac{t}{2}$ の三角関数に統一する。

$$g'(t) = \cos\left(\frac{t}{2}\right) + 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$$

$$g'(t) = \left(2\cos\left(\frac{t}{2}\right) - 1\right)\left(\cos\left(\frac{t}{2}\right) + 1\right)$$

$0 < t < 2\pi$ より $0 < \frac{t}{2} < \pi$ であり、この範囲において $\cos\left(\frac{t}{2}\right) + 1 > 0$ である。したがって、$g'(t) = 0$ となるのは $\cos\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{1}{2}$ のときである。 $0 < \frac{t}{2} < \pi$ の範囲でこれを解くと、次のようになる。

$$\frac{t}{2} = \frac{\pi}{3}$$

$$t = \frac{2}{3}\pi$$

$0 < t < 2\pi$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{2}{3}\pi$	$\cdots$	$(2\pi)$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$
$g(t)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$g(t)$ は $t = \frac{2}{3}\pi$ で最大値をとる。その最大値は次のように計算できる。

$$g\left(\frac{2}{3}\pi\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)$$

$$g\left(\frac{2}{3}\pi\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$g\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

解説

2つの変数（変数 $x$ と定数扱いする $t$）が含まれる関数の最大・最小を求める、いわゆる「予選決勝法（1文字固定法）」の典型的な問題である。導関数の符号変化を調べる際、そのままの形では符号の判定が難しいため、和積の公式を用いて積の形に変形する処理が重要になる。加法定理、2倍角の公式、和積の公式といった三角関数の諸公式を適材適所で使いこなせるかが問われている。