数学3 最大最小・解の個数問題 52 解説

方針・初手

点 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$ は円 $\text{O}$ の接線の交点である。点 $\text{A}(1, a)$ と点 $\text{B}(1, b)$ の $x$ 座標がともに $1$ であることに着目し、辺 $\text{AB}$ の直線の方程式が $x=1$ であることを利用する。接点の座標から各辺の方程式を立て、交点座標や内角を求めていくのが自然なアプローチである。

解法1

(1)

辺 $\text{AB}$ は点 $(1, a)$ と $(1, b)$ を通る直線なので、その方程式は $x=1$ である。円 $\text{O}$ の方程式は $x^2+y^2=1$ であり、直線 $x=1$ と点 $(1, 0)$ で接する。したがって、辺 $\text{AB}$ と円 $\text{O}$ の接点は $(1, 0)$ である。

接点 $\text{P}(\cos t, \sin t)$ における円 $\text{O}$ の接線（直線 $\text{AC}$）の方程式は

$$x \cos t + y \sin t = 1$$

となる。この直線が点 $\text{A}(1, a)$ を通るから

$$\cos t + a \sin t = 1$$

$t$ の範囲は $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{4}$ であり $\sin t \neq 0$ であるから、両辺を $\sin t$ で割って

$$a = \frac{1 - \cos t}{\sin t}$$

同様に、接点 $\text{Q}(\cos s, \sin s)$ における円 $\text{O}$ の接線（直線 $\text{BC}$）の方程式は

$$x \cos s + y \sin s = 1$$

となる。この直線が点 $\text{B}(1, b)$ を通るから

$$\cos s + b \sin s = 1$$

$s$ の範囲は $\pi < s < \frac{3\pi}{2}$ であり $\sin s \neq 0$ であるから、両辺を $\sin s$ で割って

$$b = \frac{1 - \cos s}{\sin s}$$

(2)

辺 $\text{AB}$ 上の接点を $\text{R}(1, 0)$ とする。点 $\text{A}$ から円 $\text{O}$ に引いた接線の長さは等しいから、$\triangle \text{AOR} \equiv \triangle \text{AOP}$ である。したがって $\angle \text{OAR} = \angle \text{OAP}$ であり、直線 $\text{OA}$ は $\angle \text{PAB}$ の二等分線となる。動径 $\text{OR}$ は $x$ 軸の正の向きであり、動径 $\text{OP}$ のなす角は $t$ であるから、$\angle \text{POR} = t$ である。四角形 $\text{AROP}$ の内角は $\angle \text{R} = \frac{\pi}{2}, \angle \text{P} = \frac{\pi}{2}$ であるため、内角の和を考えて

$$\angle \text{A} + \angle \text{POR} = \pi$$

よって

$$\angle \text{A} = \pi - t$$

同様に、点 $\text{B}$ に着目すると、$\triangle \text{BOR} \equiv \triangle \text{BOQ}$ であり、直線 $\text{OB}$ は $\angle \text{QBA}$ の二等分線となる。動径 $\text{OQ}$ のなす角は $s$ である。角の大きさを正で測ると $\angle \text{QOR} = 2\pi - s$ となる。四角形 $\text{BROQ}$ の内角の和から

$$\angle \text{B} + (2\pi - s) = \pi$$

よって

$$\angle \text{B} = s - \pi$$

$\triangle \text{ABC}$ の内角の和は $\pi$ であるから

$$\angle \text{C} = \pi - \angle \text{A} - \angle \text{B}$$

$$\angle \text{C} = \pi - (\pi - t) - (s - \pi) = \pi + t - s$$

(3)

$\text{AB} = \text{BC}$ のとき、$\triangle \text{ABC}$ は二等辺三角形であり、$\angle \text{A} = \angle \text{C}$ が成り立つ。

$$\pi - t = \pi + t - s$$

ゆえに

$$s = 2t$$

次に、$\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ を求める。底辺を $\text{AB}$ とすると、その長さは

$$\text{AB} = a - b = \frac{1 - \cos t}{\sin t} - \frac{1 - \cos s}{\sin s}$$

$s = 2t$ を代入し、倍角の公式を用いると

$$\frac{1 - \cos 2t}{\sin 2t} = \frac{2\sin^2 t}{2\sin t \cos t} = \frac{\sin t}{\cos t}$$

したがって

$$\text{AB} = \frac{1 - \cos t}{\sin t} - \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{\sin t \cos t} = \frac{\cos t - 1}{\sin t \cos t}$$

直線 $\text{AC}$ と直線 $\text{BC}$ の交点 $\text{C}$ の $x$ 座標を求める。連立方程式

$$\begin{cases} x \cos t + y \sin t = 1 \\ x \cos 2t + y \sin 2t = 1 \end{cases}$$

を $x$ について解くと

$$x = \frac{\sin 2t - \sin t}{\sin 2t \cos t - \cos 2t \sin t} = \frac{2\sin t \cos t - \sin t}{\sin(2t - t)} = \frac{\sin t (2\cos t - 1)}{\sin t} = 2\cos t - 1$$

点 $\text{C}$ から直線 $\text{AB}$ ($x=1$) に下ろした垂線の長さ $h$ は

$$h = 1 - x = 1 - (2\cos t - 1) = 2 - 2\cos t = 2(1 - \cos t)$$

よって、面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos t - 1}{\sin t \cos t} \cdot 2(1 - \cos t) = - \frac{(\cos t - 1)^2}{\sin t \cos t}$$

(4)

$S = - \frac{(\cos t - 1)^2}{\sin t \cos t}$ の最小値を求める。 $u = \cos t$ とおくと、$\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{4}$ より $- \frac{1}{\sqrt{2}} < u < 0$ である。 $\sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} = \sqrt{1 - u^2}$ であるから

$$S = \frac{-(u - 1)^2}{u \sqrt{1 - u^2}}$$

$S > 0$ であるから、$S^2$ が最小となるとき $S$ も最小となる。そこで

$$f(u) = \frac{u^2 (1 - u^2)}{(u - 1)^4} = \frac{-u^4 + u^2}{(u - 1)^4}$$

とおき、$f(u)$ が最大となる $u$ を探す。

$$f'(u) = \frac{(-4u^3 + 2u)(u - 1)^4 - (-u^4 + u^2) \cdot 4(u - 1)^3}{(u - 1)^8}$$

$$f'(u) = \frac{(-4u^3 + 2u)(u - 1) - 4(-u^4 + u^2)}{(u - 1)^5}$$

$$f'(u) = \frac{-4u^4 + 4u^3 + 2u^2 - 2u + 4u^4 - 4u^2}{(u - 1)^5} = \frac{4u^3 - 2u^2 - 2u}{(u - 1)^5}$$

$$f'(u) = \frac{2u(2u^2 - u - 1)}{(u - 1)^5} = \frac{2u(2u + 1)(u - 1)}{(u - 1)^5} = \frac{2u(2u + 1)}{(u - 1)^4}$$

$- \frac{1}{\sqrt{2}} < u < 0$ において、$f'(u) = 0$ となるのは $u = - \frac{1}{2}$ のときである。 $u = - \frac{1}{2}$ の前後で $f'(u)$ は正から負へと符号を変えるため、$f(u)$ は $u = - \frac{1}{2}$ で極大かつ最大となる。したがって、$S$ は $u = - \frac{1}{2}$ （すなわち $t = \frac{2}{3}\pi$）のとき最小値をとる。このとき、$\cos t = - \frac{1}{2}, \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから

$$S = - \frac{\left(- \frac{1}{2} - 1\right)^2}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(- \frac{1}{2}\right)} = - \frac{\frac{9}{4}}{- \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

解説

図形と方程式、三角関数、微分法が融合した総合問題である。 (2)において内角を求める際、幾何的な接線の性質を利用して動径の角から内角を導く手法が最も簡明である。 (4)の最大最小問題では、三角関数のままで微分を行うと式が煩雑になりやすいため、$\cos t$ などを変数に置き換え、さらに平方を取って逆数の関数を考えるといった式変形の工夫が計算ミスを防ぐ鍵となる。