数学3 最大最小・解の個数問題 54 解説

方針・初手

(1) は加法定理を用いて具体値を計算し、2乗して大小を比較する。 (2) は導関数 $f'(x)$ を計算し、和と積の公式を用いて積の形に変形する。 (3) は(2)で求めた $f'(x)=0$ の解から増減表を書き、端点の値と極値を比較する。その際、(1)の不等式が誘導として機能する。 (4) は(3)で求めた $M(a)$ と $m(a)$ の式から増減を調べる。

解法1

(1)

加法定理を用いると、

$$4\sin\frac{\pi}{12} = 4\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = 4\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$

次に、$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ の大小を比較する。それぞれの平方を考える。

$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}$$

$$(\sqrt{3})^2 = 3$$

両者の差をとると、

$$3 - (8 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 5 = \sqrt{48} - \sqrt{25} > 0$$

したがって、$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 < (\sqrt{3})^2$ であり、両者とも正であるため $\sqrt{6}-\sqrt{2} < \sqrt{3}$ となる。ゆえに、$\sqrt{3}$ の方が大きい。

(2)

関数 $f(x) = 3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + \sin(a-x)$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) - \cos(a-x)$$

和と積の公式より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= -2\sin\left(\frac{\frac{x}{3} + a - x}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{x}{3} - (a - x)}{2}\right) \\ &= -2\sin\left(\frac{a}{2} - \frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{a}{2}\right) \\ &= 2\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{a}{2}\right) \end{aligned}$$

$0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$、$0 < x < \pi$ より、各角度の範囲は、

$$-\frac{\pi}{6} \leqq -\frac{a}{2} < \frac{x}{3} - \frac{a}{2} < \frac{\pi}{3} - \frac{a}{2} \leqq \frac{\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{6} \leqq -\frac{a}{2} < \frac{2x}{3} - \frac{a}{2} < \frac{2\pi}{3} - \frac{a}{2} \leqq \frac{2\pi}{3}$$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{a}{2}\right) = 0$ または $\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{a}{2}\right) = 0$ のときである。上の角度の範囲で $\sin$ の値が $0$ になるのは、角度が $0$ のときのみである。

(i) $\frac{x}{3} - \frac{a}{2} = 0$ のとき、$x = \frac{3}{2}a$。これが $0 < x < \pi$ を満たす条件は $0 < a < \frac{2\pi}{3}$ なので、$0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき適する。

(ii) $\frac{2x}{3} - \frac{a}{2} = 0$ のとき、$x = \frac{3}{4}a$。これが $0 < x < \pi$ を満たす条件は $0 < a < \frac{4\pi}{3}$ なので、$0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき適する。

$a=0$ のときは $x=0$ となり $0 < x < \pi$ を満たさないため、解は存在しない。よって求める $x$ は、$a=0$ のとき存在せず、$0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき $x = \frac{3}{4}a, \frac{3}{2}a$ である。

(3)

$a=0$ のとき

$f'(x) = 2\sin\left(\frac{x}{3}\right)\sin\left(\frac{2x}{3}\right)$ となり、$0 < x < \pi$ において $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調に増加する。したがって、最大値 $M(0) = f(\pi) = 3\sin\frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$、最小値 $m(0) = f(0) = 0$ となる。

$0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき

(2)の導関数 $f'(x) = 2\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{a}{2}\right)$ の符号を調べる。 $x$ が増加するとき、因数 $\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{a}{2}\right)$ と $\sin\left(\frac{2x}{3} - \frac{a}{2}\right)$ の符号変化を考えると、

$0 \leqq x < \frac{3}{4}a$ では、ともに負であるため積は正。
$\frac{3}{4}a < x < \frac{3}{2}a$ では、前者は負、後者は正であるため積は負。
$\frac{3}{2}a < x \leqq \pi$ では、ともに正であるため積は正。

したがって、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{3}{4}a$	$\cdots$	$\frac{3}{2}a$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$f(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$f(\pi)$

最小値の候補は $f(0)$ と $f\left(\frac{3}{2}a\right)$ である。

$$f(0) = \sin a$$

$$f\left(\frac{3}{2}a\right) = 3\sin\frac{a}{2} + \sin\left(-\frac{a}{2}\right) = 2\sin\frac{a}{2}$$

両者の差をとると、

$$f(0) - f\left(\frac{3}{2}a\right) = \sin a - 2\sin\frac{a}{2} = 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2} - 2\sin\frac{a}{2} = 2\sin\frac{a}{2}\left(\cos\frac{a}{2} - 1\right)$$

$0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ において $\sin\frac{a}{2} > 0$ かつ $\cos\frac{a}{2} < 1$ であるから、この差は負となる。よって $f(0) < f\left(\frac{3}{2}a\right)$ であり、最小値は $m(a) = f(0) = \sin a$ である。

最大値の候補は $f\left(\frac{3}{4}a\right)$ と $f(\pi)$ である。

$$f\left(\frac{3}{4}a\right) = 3\sin\frac{a}{4} + \sin\frac{a}{4} = 4\sin\frac{a}{4}$$

$$f(\pi) = 3\sin\frac{\pi}{3} + \sin(a-\pi) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sin a$$

差 $g(a) = f(\pi) - f\left(\frac{3}{4}a\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sin a - 4\sin\frac{a}{4}$ とおく。 $0 < a \leqq \frac{\pi}{3}$ において、$g'(a) = -\cos a - \cos\frac{a}{4} < 0$ であるから、$g(a)$ は単調に減少する。 $a = \frac{\pi}{3}$ のとき、(1) の結果を用いると、

$$g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 4\sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - 4\sin\frac{\pi}{12} > 0$$

したがって、区間内のすべての $a$ について $g(a) > 0$、すなわち $f(\pi) > f\left(\frac{3}{4}a\right)$ となる。よって、最大値は $M(a) = f(\pi) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sin a$ である。なお、$a=0$ のときの $m(0), M(0)$ もこの式に含まれる。

(4)

(3)より、$M(a) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sin a$ ($0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$) である。この区間で $\sin a$ は $0$ から $\frac{\sqrt{3}}{2}$ まで単調に増加するため、$M(a)$ は単調に減少する。

最大値は $M(0) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ 最小値は $M\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

また、$m(a) = \sin a$ ($0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{3}$) である。これは単調に増加するため、

最大値は $m\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 最小値は $m(0) = 0$