数学3 最大最小・解の個数問題 55 解説

方針・初手

曲線の法線の方程式を立て、点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めることが第一歩である。次に、線分 $\mathrm{PQ}$ を直径とする円周角の定理に着目し、点 $\mathrm{R}$ の座標を図形的な性質から導き出す。最後に、得られた三角形の面積 $S(a)$ について、導関数を求めて増減を調べるか、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して最大値を求める。

解法1

$f(x) = \sin x$ とおくと、$f'(x) = \cos x$ である。点 $\mathrm{P}(a, \sin a)$ における接線の傾きは $\cos a$ となる。 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ より $\cos a > 0$ であるから、点 $\mathrm{P}$ における法線の傾きは $-\frac{1}{\cos a}$ である。したがって、法線の方程式は次のように表される。

$$y - \sin a = -\frac{1}{\cos a}(x - a)$$

点 $\mathrm{Q}$ はこの法線と $x$ 軸の交点であるから、$y = 0$ を代入して $x$ 座標を求める。

$$-\sin a = -\frac{1}{\cos a}(x - a)$$

$$x - a = \sin a \cos a$$

$$x = a + \sin a \cos a$$

ゆえに、点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\mathrm{Q}(a + \sin a \cos a, 0)$ である。

次に、線分 $\mathrm{PQ}$ を直径とする円周上の点 $\mathrm{R}$ について考える。線分 $\mathrm{PQ}$ が直径であるから、ターレスの定理（円周角の定理）より $\angle \mathrm{PRQ} = \frac{\pi}{2}$ である。ここで、点 $\mathrm{P}(a, \sin a)$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(a, 0)$ とすると、点 $\mathrm{H}$ は $x$ 軸上にあり、かつ $\angle \mathrm{PHQ} = \frac{\pi}{2}$ を満たす。円周角が直角となる点は線分 $\mathrm{PQ}$ を直径とする円周上にあるため、点 $\mathrm{H}$ はこの円周上の点である。点 $\mathrm{R}$ は $x$ 軸上の点で点 $\mathrm{Q}$ とは異なる点であるから、点 $\mathrm{H}$ は点 $\mathrm{R}$ と一致する。よって、点 $\mathrm{R}$ の座標は $\mathrm{R}(a, 0)$ である。

三角形 $\mathrm{PQR}$ は $\angle \mathrm{PRQ} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形であるから、その面積 $S(a)$ は次のように求められる。

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{RQ} \cdot \mathrm{PR}$$

$\mathrm{RQ} = a + \sin a \cos a - a = \sin a \cos a$ であり、$\mathrm{PR} = \sin a$ であるから、

$$S(a) = \frac{1}{2} \sin a \cos a \cdot \sin a = \frac{1}{2} \sin^2 a \cos a$$

次に、$S(a)$ の最大値を求めるため、$a$ で微分する。

$$S'(a) = \frac{1}{2} \left( 2\sin a \cos a \cdot \cos a + \sin^2 a \cdot (-\sin a) \right)$$

$$S'(a) = \frac{1}{2} \sin a (2\cos^2 a - \sin^2 a)$$

$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ を代入して整理する。

$$S'(a) = \frac{1}{2} \sin a \{2\cos^2 a - (1 - \cos^2 a)\} = \frac{1}{2} \sin a (3\cos^2 a - 1)$$

$0 < a < \frac{\pi}{2}$ において $\sin a > 0$ であるため、$S'(a) = 0$ となるのは $3\cos^2 a - 1 = 0$ のとき、すなわち $\cos a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。この条件を満たす $a$ の値を $\alpha \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ とおくと、$S(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$(0)$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$S'(a)$		$+$	$0$	$-$
$S(a)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$S(a)$ は $a = \alpha$ のとき最大値をとる。 $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \frac{2}{3}$ である。したがって、求める最大値は次のようになる。

$$S(\alpha) = \frac{1}{2} \sin^2 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$$

解法2

法線の方程式から点 $\mathrm{Q}(a + \sin a \cos a, 0)$ を求める手順は解法1と同様である。

線分 $\mathrm{PQ}$ を直径とする円上の点 $\mathrm{R}$ の座標を、ベクトルの内積を用いて求める。点 $\mathrm{R}$ は $x$ 軸上の点であるから、その座標を $\mathrm{R}(x, 0)$ とおく。線分 $\mathrm{PQ}$ が直径であるから、$\angle \mathrm{PRQ} = \frac{\pi}{2}$ より $\overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}} = 0$ が成り立つ。

$$\overrightarrow{\mathrm{RP}} = (a - x, \sin a)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{RQ}} = (a + \sin a \cos a - x, 0)$$

内積を計算すると、

$$(a - x)(a + \sin a \cos a - x) + \sin a \cdot 0 = 0$$

$$(x - a)(x - a - \sin a \cos a) = 0$$

これより、$x = a$ または $x = a + \sin a \cos a$ となる。点 $\mathrm{R}$ は点 $\mathrm{Q}$ とは異なるため、$x = a$ であり、$\mathrm{R}(a, 0)$ が定まる。

三角形 $\mathrm{PQR}$ の面積 $S(a)$ を求める。 $\mathrm{R}(a, 0)$ であるから、直角三角形の面積として計算し、

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{RQ} \cdot \mathrm{PR} = \frac{1}{2} \sin a \cos a \cdot \sin a = \frac{1}{2} \sin^2 a \cos a$$

を得る。

次に、相加平均と相乗平均の大小関係を用いて最大値を求める。 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ より $S(a) > 0$ であるから、$S(a)$ が最大となることと $S(a)^2$ が最大となることは同値である。

$$S(a)^2 = \frac{1}{4} \sin^4 a \cos^2 a = \frac{1}{8} (\sin^2 a \cdot \sin^2 a \cdot 2\cos^2 a)$$

$\sin^2 a > 0, 2\cos^2 a > 0$ であるから、3つの正の数 $\sin^2 a, \sin^2 a, 2\cos^2 a$ に対して相加平均と相乗平均の大小関係を適用する。

$$\frac{\sin^2 a + \sin^2 a + 2\cos^2 a}{3} \geqq \sqrt[3]{\sin^2 a \cdot \sin^2 a \cdot 2\cos^2 a}$$

左辺の分子は $2\sin^2 a + 2\cos^2 a = 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2$ となるため、

$$\frac{2}{3} \geqq \sqrt[3]{2\sin^4 a \cos^2 a}$$

両辺を3乗して整理する。

$$\frac{8}{27} \geqq 2\sin^4 a \cos^2 a$$

$$\sin^4 a \cos^2 a \leqq \frac{4}{27}$$

したがって、$S(a)^2$ の取り得る値の範囲は次のようになる。

$$S(a)^2 = \frac{1}{4} \sin^4 a \cos^2 a \leqq \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{27} = \frac{1}{27}$$

等号が成立するのは、$\sin^2 a = 2\cos^2 a$ のとき、すなわち $\tan^2 a = 2$ のときである。 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ の範囲に $\tan a = \sqrt{2}$ を満たす実数 $a$ は確かに存在するため、等号は成立し得る。 $S(a) > 0$ であるから、$S(a)$ の最大値は次のようになる。

$$\sqrt{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$$

解説

法線の方程式の立式と、図形の基本的な性質を結びつける標準的な微分法の問題である。点 $\mathrm{R}$ の座標を求める際、円の方程式を直接求めてから $x$ 軸（$y = 0$）との交点を計算してもよいが、解法1のように「直径に対する円周角は直角である」という性質に着目すると、計算を大幅に省略できる。また、解法2のようにベクトルの内積が $0$ になることを利用するのも、代数的かつ簡明な処理として非常に有効である。

最大値を求める過程においては、解法1の微積分によるアプローチが最も王道であるが、解法2の相加平均と相乗平均の大小関係を用いるテクニックも、知っておくと強力な武器となる。和が一定になるように $\cos^2 a$ に係数 $2$ を掛けたうえで3つの項に分割する発想は、最大・最小問題における技巧的な処理として難関大でしばしば用いられる。