数学3 最大最小・解の個数問題 57 解説

方針・初手

(1)は、点 $\text{P}$ と $\text{A}$、$\text{B}$ を通る直線をベクトルを用いて表現し、$x$ 軸との交点（$y=0$）を求めることで、場合分けをせずに計算することができる。(2)は、(1)で求めた $x$ 座標から線分の長さ $L$ を立式する。得られた式は $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の混じった分数式となるため、分子・分母を $\cos^2\theta$ で割って $\tan\theta$ に統一して相加・相乗平均の関係を用いるか、倍角の公式を用いて $2\theta$ に統一して微分法の増減を調べる方針が有効である。

解法1

(1)

$\text{A}(0, 2), \text{B}(0, -2)$、$\text{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ である。 $\text{X}_\text{A}, \text{X}_\text{B}$ の $x$ 座標をそれぞれ $x_\text{A}, x_\text{B}$ とすると、$\text{X}_\text{A}(x_\text{A}, 0), \text{X}_\text{B}(x_\text{B}, 0)$ である。

点 $\text{X}_\text{A}$ は直線 $\text{AP}$ 上にあるため、実数 $k$ を用いて $\vec{\text{A}\text{X}_\text{A}} = k\vec{\text{AP}}$ と表せる。

$$(x_\text{A}, -2) = k(\cos\theta, \sin\theta - 2)$$

$y$ 成分を比較すると、$-2 = k(\sin\theta - 2)$ となる。すべての $\theta$ において $\sin\theta - 2 \neq 0$ であるから、

$$k = \frac{-2}{\sin\theta - 2} = \frac{2}{2 - \sin\theta}$$

これを $x$ 成分の式 $x_\text{A} = k\cos\theta$ に代入して、

$$x_\text{A} = \frac{2\cos\theta}{2 - \sin\theta}$$

同様に、点 $\text{X}_\text{B}$ は直線 $\text{BP}$ 上にあるため、実数 $l$ を用いて $\vec{\text{B}\text{X}_\text{B}} = l\vec{\text{BP}}$ と表せる。

$$(x_\text{B}, 2) = l(\cos\theta, \sin\theta + 2)$$

$y$ 成分を比較すると、$2 = l(\sin\theta + 2)$ となる。すべての $\theta$ において $\sin\theta + 2 \neq 0$ であるから、

$$l = \frac{2}{\sin\theta + 2}$$

これを $x$ 成分の式 $x_\text{B} = l\cos\theta$ に代入して、

$$x_\text{B} = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta + 2}$$

(2)

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos\theta > 0, \sin\theta > 0$ である。 $2 - \sin\theta > 0$ かつ $2 + \sin\theta > 0$ より $x_\text{A} > 0, x_\text{B} > 0$ であり、

$$\begin{aligned} x_\text{A} - x_\text{B} &= \frac{2\cos\theta}{2 - \sin\theta} - \frac{2\cos\theta}{2 + \sin\theta} \\ &= 2\cos\theta \cdot \frac{(2 + \sin\theta) - (2 - \sin\theta)}{(2 - \sin\theta)(2 + \sin\theta)} \\ &= \frac{4\sin\theta\cos\theta}{4 - \sin^2\theta} \end{aligned}$$

$\theta$ の範囲より分子・分母ともに正であるため、$x_\text{A} - x_\text{B} > 0$、すなわち $x_\text{A} > x_\text{B}$ となる。したがって、線分 $\text{X}_\text{A}\text{X}_\text{B}$ の長さ $L$ は次のように表される。

$$L = x_\text{A} - x_\text{B} = \frac{4\sin\theta\cos\theta}{4 - \sin^2\theta}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \neq 0$ であるから、分子・分母を $\cos^2\theta$ で割ると、

$$L = \frac{4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{4}{\cos^2\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{4\tan\theta}{4(1 + \tan^2\theta) - \tan^2\theta} = \frac{4\tan\theta}{3\tan^2\theta + 4}$$

ここで $t = \tan\theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $t > 0$ である。

$$L = \frac{4t}{3t^2 + 4}$$

$t > 0$ より分子・分母を $t$ で割ると、

$$L = \frac{4}{3t + \frac{4}{t}}$$

$t > 0, \frac{4}{t} > 0$ であるから、相加・相乗平均の関係より、

$$3t + \frac{4}{t} \geqq 2\sqrt{3t \cdot \frac{4}{t}} = 4\sqrt{3}$$

等号成立は $3t = \frac{4}{t}$ すなわち $t^2 = \frac{4}{3}$ のときであり、$t > 0$ より $t = \frac{2}{\sqrt{3}}$ のときに成り立つ。このとき対応する $\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲に存在する。分母の最小値が $4\sqrt{3}$ であるから、$L$ の最大値は

$$\frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解法2

(1)の導出および $L = \frac{4\sin\theta\cos\theta}{4 - \sin^2\theta}$ を得るまでの過程は解法1と同様である。

(2)

線分の長さ $L$ に対して、倍角の公式および半角の公式を用いて式を変形する。

$$\begin{aligned} L &= \frac{4\sin\theta\cos\theta}{4 - \sin^2\theta} \\ &= \frac{2\sin 2\theta}{4 - \frac{1 - \cos 2\theta}{2}} \\ &= \frac{4\sin 2\theta}{7 + \cos 2\theta} \end{aligned}$$

$\varphi = 2\theta$ とおくと、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \varphi < \pi$ である。 $f(\varphi) = \frac{4\sin\varphi}{7 + \cos\varphi}$ とおき、微分して増減を調べる。

$$\begin{aligned} f'(\varphi) &= \frac{4\cos\varphi(7 + \cos\varphi) - 4\sin\varphi(-\sin\varphi)}{(7 + \cos\varphi)^2} \\ &= \frac{28\cos\varphi + 4\cos^2\varphi + 4\sin^2\varphi}{(7 + \cos\varphi)^2} \\ &= \frac{4(7\cos\varphi + 1)}{(7 + \cos\varphi)^2} \end{aligned}$$

$f'(\varphi) = 0$ となるのは $\cos\varphi = -\frac{1}{7}$ のときである。 $0 < \varphi < \pi$ の範囲において、$\cos\alpha = -\frac{1}{7}$ を満たす $\alpha$ がただ1つ存在する。増減表は以下のようになる。

$\varphi$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\pi$
$f'(\varphi)$		$+$	$0$	$-$
$f(\varphi)$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(0)$

よって、$\varphi = \alpha$ のとき $f(\varphi)$ は最大となる。 $\cos\alpha = -\frac{1}{7}$ のとき、$0 < \alpha < \pi$ より $\sin\alpha > 0$ であるから、

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

したがって、求める最大値は

$$f(\alpha) = \frac{4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}}{7 - \frac{1}{7}} = \frac{\frac{16\sqrt{3}}{7}}{\frac{48}{7}} = \frac{16\sqrt{3}}{48} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

解説

(1)において直線の方程式を $y = mx + n$ の形で立式すると、点 $\text{P}$ が $y$ 軸上にある場合（$\cos\theta=0$ の場合）に傾きが定義できず、場合分けが必要になる。ベクトルを用いて直線を媒介変数表示の形で捉えることで、この場合分けを回避できる。 (2)の三角関数の最大最小問題においては、同次式（すべての項の次数が等しい式）の形を見抜くことが重要である。分子・分母を $\cos^2\theta$ で割ることで $\tan\theta$ の式に帰着させる手法は、数IIIの微分計算を回避し、相加・相乗平均などの簡潔な代数的処理に持ち込めるため非常に有効な典型手法である。