数学3 最大最小・解の個数問題 58 解説

方針・初手

点と直線の距離の公式を用いて、距離 $h$ を $a$ と $t$ を用いた式で表す。三角関数の合成を利用して $t$ を動かしたときの $h$ の最大値を求める。関数 $f(a)$ の最大・最小は、置換積分法などでよく用いる変数変換を参考にルートをまるごと文字で置くか、相加平均と相乗平均の大小関係などを利用して調べる。

解法1

点 $\text{P}(2\cos t, \sin t)$ と直線 $ax + \sqrt{1-a^2}y = 0$ の距離 $h$ は、点と直線の距離の公式より、

$$h = \frac{|a \cdot 2\cos t + \sqrt{1-a^2} \cdot \sin t|}{\sqrt{a^2 + (\sqrt{1-a^2})^2}} = \frac{|2a\cos t + \sqrt{1-a^2}\sin t|}{\sqrt{a^2 + (1-a^2)}} = |2a\cos t + \sqrt{1-a^2}\sin t|$$

これより、アは $2a$、イは $\sqrt{1-a^2}$ である。

次に、$h$ を三角関数の合成を用いて変形すると、

$$h = \sqrt{(2a)^2 + (\sqrt{1-a^2})^2} |\sin(t + \alpha)| = \sqrt{4a^2 + 1 - a^2} |\sin(t + \alpha)| = \sqrt{3a^2+1} |\sin(t + \alpha)|$$

となる。ただし、$\alpha$ は $\cos\alpha = \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{3a^2+1}}, \sin\alpha = \frac{2a}{\sqrt{3a^2+1}}$ を満たす角である。 $t$ が $0 \leqq t \leqq 2\pi$ の範囲を動くとき、$\sin(t+\alpha)$ は $-1$ から $1$ までの値をとるため、$|\sin(t+\alpha)|$ の最大値は $1$ である。したがって、$h$ は最大値 $\sqrt{3a^2+1}$ をとる。これより、オは $\sqrt{3a^2+1}$ である。

この最大値をとるとき $\sin(t+\alpha) = \pm 1$ であり、このとき $\cos(t+\alpha) = 0$ である。加法定理を展開した式に代入して連立方程式を作ると、

$$\begin{cases} \sin t \cos\alpha + \cos t \sin\alpha = \pm 1 \\ \cos t \cos\alpha - \sin t \sin\alpha = 0 \end{cases}$$

これを $\cos t, \sin t$ について解くと、$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ より

$$\cos t = \pm \sin\alpha = \pm \frac{2a}{\sqrt{3a^2+1}}$$

$$\sin t = \pm \cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{3a^2+1}} \quad \text{（複号同順）}$$

よって、点 $\text{P}$ の座標は $(2\cos t, \sin t) = \left( \pm \frac{4a}{\sqrt{3a^2+1}}, \pm \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{3a^2+1}} \right)$ (複号同順) となる。これより、ウは $\frac{4a}{\sqrt{3a^2+1}}$、エは $\frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{3a^2+1}}$ である。

このときの $\angle\text{OPH}$ を $\theta_0$ とする。$\triangle\text{OPH}$ は $\angle\text{OHP} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形であるから、

$$\cos\theta_0 = \frac{\text{PH}}{\text{OP}}$$

$\text{PH} = h = \sqrt{3a^2+1}$ であり、

$$\text{OP} = \sqrt{\left(\pm \frac{4a}{\sqrt{3a^2+1}}\right)^2 + \left(\pm \frac{\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{3a^2+1}}\right)^2} = \sqrt{\frac{16a^2}{3a^2+1} + \frac{1-a^2}{3a^2+1}} = \sqrt{\frac{15a^2+1}{3a^2+1}}$$

であるから、

$$\cos\theta_0 = \frac{\sqrt{3a^2+1}}{\sqrt{\frac{15a^2+1}{3a^2+1}}} = \frac{3a^2+1}{\sqrt{15a^2+1}}$$

これより、カは $\frac{3a^2+1}{\sqrt{15a^2+1}}$ である。

次に関数 $f(a) = \frac{3a^2+1}{\sqrt{15a^2+1}}$ の $-1 \leqq a \leqq 1$ における最大値と最小値を求める。 $x = \sqrt{15a^2+1}$ とおくと、$a^2 = \frac{x^2-1}{15}$ であり、$-1 \leqq a \leqq 1$ より $0 \leqq a^2 \leqq 1$ であるから $1 \leqq x \leqq 4$ である。このとき分子は、

$$3a^2+1 = 3 \cdot \frac{x^2-1}{15} + 1 = \frac{x^2-1}{5} + 1 = \frac{x^2+4}{5}$$

となるから、

$$f(a) = \frac{\frac{x^2+4}{5}}{x} = \frac{1}{5} \left( x + \frac{4}{x} \right)$$

関数 $g(x) = x + \frac{4}{x}$ について微分すると $g'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}$ となる。 $1 < x < 2$ で $g'(x) < 0$、$2 < x < 4$ で $g'(x) > 0$ となるため、$g(x)$ は $x=2$ で極小かつ最小となる。相加平均と相乗平均の大小関係を用いて $x + \frac{4}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$ から導くこともできる。 $x=2$ のとき $f(a)$ は最小値 $\frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5}$ をとる。 $x=2$ のとき $\sqrt{15a^2+1} = 2 \implies 15a^2+1 = 4 \implies a^2 = \frac{1}{5} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ である。

最大値の候補は区間の端点 $x=1, 4$ のときである。 $x=1$ のとき $g(1) = 5$、$x=4$ のとき $g(4) = 4 + 1 = 5$ で等しい。よって $x=1, 4$ のとき最大値 $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$ をとる。 $x=1$ のとき $\sqrt{15a^2+1} = 1 \implies 15a^2 = 0 \implies a = 0$。 $x=4$ のとき $\sqrt{15a^2+1} = 4 \implies 15a^2+1 = 16 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$。以上より、$f(a)$ は $a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき最小値 $\frac{4}{5}$ をとり、$a = 0, \pm 1$ のとき最大値 $1$ をとる。

解説

点と直線の距離の公式と三角関数の合成という基本的な公式を組み合わせる問題である。$h$ が最大となるときの $\cos t, \sin t$ の値を求める際には、加法定理を逆向きに使うか、コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件を利用すると計算がスムーズになる。後半の $f(a)$ の最大・最小については、無理関数をそのまま微分しても解けるが、ルートをまるごと置換し、さらに $x + \frac{4}{x}$ の形を作り出すことで相加・相乗平均の大小関係などを利用して計算量を抑えることができる。