数学3 最大最小・解の個数問題 59 解説

方針・初手

(1) は図形の定義に従い、直線 $\text{AP}$ の方程式を立てて交点 $\text{Q}$ の座標を求め、さらに点 $\text{R}$ の座標を計算する。 (2) は (1) で得られた $y$ 座標の式 $f(\theta)$ を $\theta$ で微分して増減を調べる。または、数式の形から図形的な意味（直線の傾き）を見出して最大値を求めることも有効である。 (3) は原点と点 $\text{R}$ の距離の 2 乗を $\cos\theta$ の関数として表し、微分や変数の置き換えによる二次関数への帰着を用いて最小値を求める。いずれにおいても、パラメータの範囲に注意して極値をとる条件が満たされるかを確認することが重要である。

解法1

(1)

直線 $\text{AP}$ は点 $\text{A}(a, 0)$ および点 $\text{P}(2\cos\theta, \sin\theta)$ を通る直線である。その方程式は、

$$y = \frac{\sin\theta - 0}{2\cos\theta - a}(x - a)$$

となる。点 $\text{Q}$ はこの直線と $y$ 軸（$x = 0$）の交点であるから、$x = 0$ を代入して $y$ 座標を求める。

$$y = \frac{-a\sin\theta}{2\cos\theta - a} = \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}$$

したがって、点 $\text{Q}$ の座標は $\left(0, \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}\right)$ である。

次に、点 $\text{R}$ は点 $\text{Q}$ を通り $x$ 軸に平行な直線上にあるため、点 $\text{R}$ の $y$ 座標も $\frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}$ である。また、点 $\text{R}$ は直線 $\text{OP}$ 上にもある。原点 $\text{O}$ と点 $\text{P}(2\cos\theta, \sin\theta)$ を通る直線上の点は、実数 $k$ を用いて $(2k\cos\theta, k\sin\theta)$ と表せる。 $y$ 座標を比較すると、

$$k\sin\theta = \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}$$

$0 < \theta < \pi$ において $\sin\theta \neq 0$ であるから、両辺を $\sin\theta$ で割ると、

$$k = \frac{a}{a - 2\cos\theta}$$

このとき、点 $\text{R}$ の $x$ 座標は $2k\cos\theta$ であるから、

$$x = \frac{2a\cos\theta}{a - 2\cos\theta}$$

以上より、点 $\text{R}$ の座標は $\left(\frac{2a\cos\theta}{a - 2\cos\theta}, \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}\right)$ である。

(2)

(1) の結果より、$f(\theta)$ は以下のようになる。

$$f(\theta) = \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}$$

これを $\theta$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(\theta) &= \frac{a\cos\theta(a - 2\cos\theta) - a\sin\theta \cdot (2\sin\theta)}{(a - 2\cos\theta)^2} \\ &= \frac{a^2\cos\theta - 2a(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{(a - 2\cos\theta)^2} \\ &= \frac{a(a\cos\theta - 2)}{(a - 2\cos\theta)^2} \end{aligned}$$

$a > 2$ であるから、$0 < \frac{2}{a} < 1$ を満たす。したがって、$0 < \theta < \pi$ の範囲において $\cos\alpha = \frac{2}{a}$ を満たす角 $\alpha$ がただ 1 つ存在する。 $0 < \theta < \pi$ において $\cos\theta$ は単調に減少するため、$f'(\theta)$ は $\theta = \alpha$ の前後で正から負へと符号を変える。よって、$f(\theta)$ は $\theta = \alpha$ において最大値をとる。

$\cos\alpha = \frac{2}{a}$ かつ $0 < \alpha < \pi$ のとき、

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{a}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 - 4}}{a}$$

であるから、最大値は以下のように求まる。

$$f(\alpha) = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{a^2 - 4}}{a}}{a - 2 \cdot \frac{2}{a}} = \frac{\sqrt{a^2 - 4}}{\frac{a^2 - 4}{a}} = \frac{a\sqrt{a^2 - 4}}{a^2 - 4} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - 4}}$$

(3)

原点 $\text{O}$ と点 $\text{R}$ の距離の 2 乗 $g(\theta)$ は、点 $\text{R}$ の座標から次のように計算できる。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= \left(\frac{2a\cos\theta}{a - 2\cos\theta}\right)^2 + \left(\frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta}\right)^2 \\ &= \frac{4a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{(a - 2\cos\theta)^2} \\ &= \frac{a^2(4\cos^2\theta + 1 - \cos^2\theta)}{(a - 2\cos\theta)^2} \\ &= \frac{a^2(3\cos^2\theta + 1)}{(a - 2\cos\theta)^2} \end{aligned}$$

ここで、$t = \cos\theta$ とおくと、$0 < \theta < \pi$ より $-1 < t < 1$ である。$g(\theta)$ を $t$ の関数 $h(t)$ とすると、

$$h(t) = \frac{a^2(3t^2 + 1)}{(a - 2t)^2}$$

これを $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} h'(t) &= a^2 \frac{6t(a - 2t)^2 - (3t^2 + 1) \cdot 2(a - 2t) \cdot (-2)}{(a - 2t)^4} \\ &= a^2 \frac{6t(a - 2t) + 4(3t^2 + 1)}{(a - 2t)^3} \\ &= a^2 \frac{6at - 12t^2 + 12t^2 + 4}{(a - 2t)^3} \\ &= \frac{2a^2(3at + 2)}{(a - 2t)^3} \end{aligned}$$

$-1 < t < 1$ かつ $a > 2$ であるから、$a - 2t > 0$ となり分母は常に正である。 $h'(t) = 0$ となるのは $3at + 2 = 0$、すなわち $t = -\frac{2}{3a}$ のときである。 $a > 2$ より $-1 < -\frac{2}{3a} < 0$ であるから、この $t$ は定義域 $-1 < t < 1$ 内に存在する。 $h'(t)$ は $t = -\frac{2}{3a}$ の前後で負から正へと符号を変えるため、$h(t)$ はこのとき最小となる。最小値は、

$$\begin{aligned} h\left(-\frac{2}{3a}\right) &= a^2 \frac{3\left(-\frac{2}{3a}\right)^2 + 1}{\left(a - 2\left(-\frac{2}{3a}\right)\right)^2} \\ &= a^2 \frac{\frac{4}{3a^2} + 1}{\left(a + \frac{4}{3a}\right)^2} \\ &= a^2 \frac{\frac{3a^2 + 4}{3a^2}}{\frac{(3a^2 + 4)^2}{9a^2}} \\ &= a^2 \cdot \frac{3a^2 + 4}{3a^2} \cdot \frac{9a^2}{(3a^2 + 4)^2} \\ &= \frac{3a^2}{3a^2 + 4} \end{aligned}$$

解法2

(2) の別解

$$f(\theta) = \frac{a\sin\theta}{a - 2\cos\theta} = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sin\theta - 0}{\cos\theta - \frac{a}{2}}$$

式の形から、$\frac{\sin\theta - 0}{\cos\theta - \frac{a}{2}}$ は座標平面上の定点 $\text{B}\left(\frac{a}{2}, 0\right)$ と、単位円周上の点 $\text{P}'(\cos\theta, \sin\theta)$ （ただし $y > 0$）を結ぶ直線の傾き $m$ を表している。 $a > 2$ より $\frac{a}{2} > 1$ であるため、点 $\text{B}$ は単位円の外部にある。この傾き $m$ が最大となるのは、点 $\text{B}$ を通る直線が第 1 象限または第 2 象限において単位円に接するときである。直線の方程式は $y = m\left(x - \frac{a}{2}\right)$ すなわち $mx - y - \frac{ma}{2} = 0$ と表せる。原点とこの直線の距離が単位円の半径 $1$ に等しいことから、点と直線の距離の公式より、

$$\frac{\left|-\frac{ma}{2}\right|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$$

両辺を 2 乗して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{m^2 a^2}{4} &= m^2 + 1 \\ m^2(a^2 - 4) &= 4 \\ m^2 &= \frac{4}{a^2 - 4} \end{aligned}$$

$m > 0$ より $m = \frac{2}{\sqrt{a^2 - 4}}$ となる。したがって、$f(\theta)$ の最大値は $\frac{a}{2} m$ であるから、

$$\frac{a}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{a^2 - 4}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - 4}}$$

(3) の別解

$g(\theta)$ の式において、$u = a - 2\cos\theta$ とおき換える。 $a > 2$ かつ $-1 < \cos\theta < 1$ であるから、$a - 2 < u < a + 2$ であり、常に $u > 0$ である。 $\cos\theta = \frac{a - u}{2}$ より、分子を $u$ で表すと、

$$\begin{aligned} 3\cos^2\theta + 1 &= 3\left(\frac{a - u}{2}\right)^2 + 1 \\ &= \frac{3}{4}(a^2 - 2au + u^2) + 1 \\ &= \frac{3}{4}u^2 - \frac{3a}{2}u + \frac{3}{4}a^2 + 1 \end{aligned}$$

これを用いて $g(\theta)$ を変形する。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= \frac{a^2 \left( \frac{3}{4}u^2 - \frac{3a}{2}u + \frac{3}{4}a^2 + 1 \right)}{u^2} \\ &= a^2 \left\{ \left(\frac{3}{4}a^2 + 1\right)\frac{1}{u^2} - \frac{3a}{2}\frac{1}{u} + \frac{3}{4} \right\} \end{aligned}$$

ここで $v = \frac{1}{u}$ とおくと、$v$ についての二次関数となる。

$$g(\theta) = a^2 \left\{ \frac{3a^2 + 4}{4}v^2 - \frac{3a}{2}v + \frac{3}{4} \right\}$$

これを平方完成する。

$$\begin{aligned} g(\theta) &= a^2 \left\{ \frac{3a^2 + 4}{4} \left( v - \frac{\frac{3a}{4}}{\frac{3a^2 + 4}{4}} \right)^2 + \frac{3}{4} - \frac{\left(\frac{3a}{4}\right)^2}{\frac{3a^2 + 4}{4}} \right\} \\ &= a^2 \left\{ \frac{3a^2 + 4}{4} \left( v - \frac{3a}{3a^2 + 4} \right)^2 + \frac{3(3a^2 + 4) - 9a^2}{4(3a^2 + 4)} \right\} \\ &= a^2 \frac{3a^2 + 4}{4} \left( v - \frac{3a}{3a^2 + 4} \right)^2 + \frac{3a^2}{3a^2 + 4} \end{aligned}$$

$v = \frac{3a}{3a^2 + 4}$ となるのは、$u = \frac{3a^2 + 4}{3a} = a + \frac{4}{3a}$ のときである。このとき $\cos\theta = \frac{a - u}{2} = -\frac{2}{3a}$ となる。 $a > 2$ より $-\frac{1}{3} < -\frac{2}{3a} < 0$ であるため、条件 $-1 < \cos\theta < 1$ を満たす。したがって、求める最小値は $\frac{3a^2}{3a^2 + 4}$ である。

解説

(1) は問題文の設定に忠実に座標計算を進めることで無理なく解くことができる。 (2) は関数の形から図形的な意味を読み取れるかどうかがポイントとなる。解法 2 のように直線の傾きとして解釈できれば、微分の計算負担を減らし見通しよく解くことが可能である。 (3) はそのまま商の微分法を用いてもよいが、解法 2 のように式の特徴を捉えて適切に文字を置き換えることで、微積分を使わずに二次関数の最大・最小問題に帰着させることができる。いずれの解法においても、極値をとる条件（$\theta$ が定義域内に存在すること）の確認を怠らないようにしたい。