数学3 最大最小・解の個数問題 60 解説

方針・初手

与えられた条件から、点 P と点 Q の座標を文字 $a, b, p$ を用いて表し、2点間の距離の公式を利用して $L^2$ を立式する。最小値を求める問題は、導関数を求めて増減表を書き、極値を調べるのが定石である。式の形がやや複雑になるため、共通因数をくくり出すなどの工夫をして計算を見やすく進めることが重要である。

解法1

(1) 点 P は直線 $y = -a$ 上の点であるため、その座標は $(p, -a)$ である。原点 O と点 P を通る直線の傾きは $\frac{-a}{p}$ である。問題の条件よりこの直線の傾きは正であり、$a > 0$ であることから $p < 0$ である。直線 OP の方程式は $y = -\frac{a}{p}x$ となる。点 Q はこの直線と直線 $x = b$ の交点であるから、点 Q の座標は $\left(b, -\frac{ab}{p}\right)$ である。したがって、線分 PQ の長さの2乗 $L^2$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} L^2 &= (b - p)^2 + \left(-\frac{ab}{p} - (-a)\right)^2 \\ &= (p - b)^2 + \left(-\frac{ab}{p} + a\right)^2 \\ &= (p - b)^2 + a^2 \left(1 - \frac{b}{p}\right)^2 \\ &= (p - b)^2 + \frac{a^2}{p^2} (p - b)^2 \\ &= (p - b)^2 \left(1 + \frac{a^2}{p^2}\right) \end{aligned}$$

(2) (1) の結果より、$L^2$ を $p$ の関数とみて $f(p) = (p - b)^2 \left(1 + \frac{a^2}{p^2}\right)$ とおく。 $p < 0$ において $f(p)$ を $p$ で微分すると、積の微分公式より

$$\begin{aligned} f'(p) &= 2(p - b)\left(1 + \frac{a^2}{p^2}\right) + (p - b)^2 \left(-\frac{2a^2}{p^3}\right) \\ &= 2(p - b) \left\{ 1 + \frac{a^2}{p^2} - \frac{a^2(p - b)}{p^3} \right\} \\ &= 2(p - b) \left( 1 + \frac{a^2 p - a^2(p - b)}{p^3} \right) \\ &= 2(p - b) \left( 1 + \frac{a^2 b}{p^3} \right) \\ &= \frac{2(p - b)(p^3 + a^2 b)}{p^3} \end{aligned}$$

$a > 0, b > 0, p < 0$ であるため、$p - b < 0, p^3 < 0$ である。したがって、$f'(p) = 0$ となるのは $p^3 + a^2 b = 0$ のときであり、これを解くと

$$p = -(a^2 b)^{\frac{1}{3}} = -a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$$

$p_0 = -a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ とおく。$p < 0$ における $f(p)$ の増減表は以下のようになる。

$p$	$\cdots$	$p_0$	$\cdots$	$(0)$
$f'(p)$	$-$	$0$	$+$
$f(p)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$L^2$ を最小にする $p$ の値は $p = -a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ である。

(3) (2) より、$p_0 = -a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$ である。(1) で求めた $L^2$ の式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} L^2 &= (p_0 - b)^2 \left(1 + \frac{a^2}{p_0^2}\right) \\ &= \left(-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} - b\right)^2 \left( 1 + \frac{a^2}{\left(-a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^2} \right) \\ &= \left\{ -b^{\frac{1}{3}} \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right) \right\}^2 \left( 1 + \frac{a^2}{a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{2}{3}}} \right) \\ &= b^{\frac{2}{3}} \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)^2 \left( 1 + \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}} \right) \\ &= b^{\frac{2}{3}} \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)^2 \cdot \frac{b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}} \\ &= \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)^3 \end{aligned}$$

問題の条件より $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = c^{\frac{2}{3}}$ であるから、これを代入して

$$L^2 = \left(c^{\frac{2}{3}}\right)^3 = c^2$$

解説

座標平面上における線分の長さの最小値を微分を用いて求める、定石的な微積分・図形問題である。 (1) で得られる関数は有理関数となるが、むやみに展開せずに因数 $(p-b)^2$ などの形を残して微分することで、因数分解が容易になり計算ミスを防ぐことができる。 (3) の結果から $L = c$ であることがわかる。これは、長さ $c$ 一定の線分が直交する2直線に両端を乗せて動くとき、その線分が通過する領域の境界（包絡線）がアステロイド曲線になるという有名な性質を背景とした出題である。