数学3 最大最小・解の個数問題 62 解説

方針・初手

(1) は与えられた関数 $f(x)$ を微分し、条件式 $f(-1) = 10e$ と $f'(1) = 0$ に代入して $a$ と $b$ の連立方程式を導く。積の微分法を正確に計算することが求められる。

(2) は (1) で求めた値を代入して $f(x)$ の増減表を作成する。極大値が複数現れるため、与えられた不等式 $2 < e < 3$ を利用してそれらの大小を比較し、最大値を特定する。最小値については、$f(x)$ の式の形から $f(x) \geqq 0$ であることに着目すると簡潔に示せる。

解法1

(1)

与えられた関数は以下のように展開できる。

$$f(x) = e^{-x} (x^4 + ax^3 + bx^2)$$

条件 $f(-1) = 10e$ より、以下の式が成り立つ。

$$e^{1} (1 - a + b) = 10e$$

両辺を $e$ で割って整理する。

$$-a + b = 9 \quad \cdots \text{①}$$

次に、$f(x)$ を $x$ について微分する。積の微分法を用いる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= -e^{-x} (x^4 + ax^3 + bx^2) + e^{-x} (4x^3 + 3ax^2 + 2bx) \\ &= e^{-x} \{ -x^4 + (4-a)x^3 + (3a-b)x^2 + 2bx \} \end{aligned}$$

条件 $f'(1) = 0$ より、以下の式が成り立つ。

$$e^{-1} \{ -1 + (4-a) + (3a-b) + 2b \} = 0$$

$e^{-1} \neq 0$ であるから、カッコの中身が $0$ となる。

$$2a + b + 3 = 0$$

$$2a + b = -3 \quad \cdots \text{②}$$

①と②の連立方程式を解く。②から①を引くと $3a = -12$ となり、$a = -4$ を得る。これを①に代入して $b = 5$ を得る。

(2)

(1) の結果より、$f(x)$ および $f'(x)$ は以下のようになる。

$$f(x) = e^{-x} (x^4 - 4x^3 + 5x^2)$$

$$\begin{aligned} f'(x) &= e^{-x} \{ -x^4 + 8x^3 + (-12-5)x^2 + 10x \} \\ &= e^{-x} (-x^4 + 8x^3 - 17x^2 + 10x) \\ &= -e^{-x} x (x^3 - 8x^2 + 17x - 10) \end{aligned}$$

ここで、$P(x) = x^3 - 8x^2 + 17x - 10$ とおくと $P(1) = 1 - 8 + 17 - 10 = 0$ となるため、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。因数分解を進める。

$$\begin{aligned} f'(x) &= -e^{-x} x (x-1)(x^2 - 7x + 10) \\ &= -e^{-x} x(x-1)(x-2)(x-5) \end{aligned}$$

$x \geqq 0$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$5$	$\cdots$
$f'(x)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

ここで、極大値となる $f(1)$ と $f(5)$ の値を計算する。

$$f(1) = e^{-1} (1 - 4 + 5) = \frac{2}{e}$$

$$f(5) = e^{-5} (625 - 500 + 125) = \frac{250}{e^5}$$

これら2つの極大値の大小を比較するため、差をとる。

$$f(1) - f(5) = \frac{2}{e} - \frac{250}{e^5} = \frac{2e^4 - 250}{e^5} = \frac{2(e^4 - 125)}{e^5}$$

条件より $2 < e < 3$ であるから、各辺を4乗すると $16 < e^4 < 81$ となる。したがって、$e^4 - 125 < 81 - 125 < 0$ であり、$f(1) - f(5) < 0$ が成り立つ。

$$f(1) < f(5)$$

よって、$x \geqq 0$ における最大値は $f(5)$ である。

次に最小値について考える。$x \geqq 0$ のとき $e^{-x} > 0$ であり、$x^4 - 4x^3 + 5x^2 = x^2(x^2 - 4x + 5) = x^2 \{ (x-2)^2 + 1 \} \geqq 0$ であるから、常に $f(x) \geqq 0$ が成り立つ。増減表より $f(0) = 0$ であるため、これが最小値となる。

解説

関数の微分計算と、導関数の因数分解を正確に行えるかが問われている。増減表をかくと極大値が2つ現れるが、無理数 $e$ の近似的な評価（$e < 3$）を用いることで大小関係を決定できる。最小値については極限 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ を考えてもよいが、式を平方完成して $f(x) \geqq 0$ を示す方が、記述が簡潔かつ厳密になるため推奨される。