数学3 最大最小・解の個数問題 63 解説

方針・初手

(1) は方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数を求める問題である。定数 $c$ を分離し、関数 $y=g(x)$ のグラフと直線 $y=c$ の交点の個数として考える方針が基本である。$a>0$ より $x=0$ は解とならないため、$x^2$ で両辺を割って議論を進める。 (2) は (1) の増減の様子から $f(x)=0$ が3個の実数解をもつための $c$ の値が定まる。極小値をとる $x$ の値が重解となることを利用し、因数定理を用いて残りの解を求める。 (3) は (2) で求めた解の大小関係から、面積を求める積分区間を決定する。被積分関数は $(x+a)^2$ を因数にもつため、$x+a=t$ と置換することで積分計算を簡略化し、最後に極限をとる。

解法1

(1) 与えられた方程式は以下の通りである。

$$(x^2+a)(x-a^2)^2 - cx^2 = 0$$

$x=0$ を代入すると $a^5 = 0$ となるが、$a>0$ であるためこれは成立しない。よって、$x=0$ は解ではない。両辺を $x^2$ で割って $c$ について解くと、

$$\frac{(x^2+a)(x-a^2)^2}{x^2} = c$$

ここで、$g(x) = \left(1+\frac{a}{x^2}\right)(x-a^2)^2$ とおく。$x \neq 0$ における $g(x)$ の増減を調べるために微分する。

$$g'(x) = -\frac{2a}{x^3}(x-a^2)^2 + \left(1+\frac{a}{x^2}\right) \cdot 2(x-a^2)$$

$$g'(x) = \frac{2(x-a^2)}{x^3} \left\{ -a(x-a^2) + x^3 + ax \right\}$$

$$g'(x) = \frac{2(x-a^2)(x^3+a^3)}{x^3} = \frac{2(x-a^2)(x+a)(x^2-ax+a^2)}{x^3}$$

$a>0$ より $x^2-ax+a^2 = \left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}a^2 > 0$ であるため、$g'(x)=0$ となるのは $x=-a, a^2$ のときである。 $g'(x)$ の符号変化を調べると、以下のようになる。

$x < -a$ では $g'(x) < 0$
$x = -a$ では $g'(x) = 0$
$-a < x < 0$ では $g'(x) > 0$
$0 < x < a^2$ では $g'(x) < 0$
$x = a^2$ では $g'(x) = 0$
$x > a^2$ では $g'(x) > 0$

極小値は以下の通りである。

$$g(-a) = \left(1+\frac{a}{a^2}\right)(-a-a^2)^2 = \frac{a+1}{a} \cdot a^2(a+1)^2 = a(a+1)^3$$

$$g(a^2) = \left(1+\frac{a}{a^4}\right)(a^2-a^2)^2 = 0$$

また、$\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \infty$, $\lim_{x \to 0} g(x) = \infty$ である。したがって、$y=g(x)$ のグラフと直線 $y=c$ の交点の個数が求める実数解の個数であり、$a(a+1)^3 > 0$ に注意すると以下のように分類できる。

$c < 0$ のとき：0個
$c = 0$ のとき：1個
$0 < c < a(a+1)^3$ のとき：2個
$c = a(a+1)^3$ のとき：3個
$c > a(a+1)^3$ のとき：4個

(2) 方程式が3個の異なる実数解をもつのは、(1)の結果より $c = a(a+1)^3$ のときである。このとき、直線 $y=c$ は $y=g(x)$ の極小点 $x=-a$ で接するため、$x=-a$ は方程式の重解である。元の式に代入し、因数定理を用いて $f(x)$ を因数分解する。

$$f(x) = (x^2+a)(x-a^2)^2 - a(a+1)^3 x^2 = 0$$

左辺は $(x+a)^2$ で割り切れるため、次のように変形できる。

$$f(x) = (x+a)^2 \left\{ x^2 - 2a(a+1)x + a^3 \right\} = 0$$

$x=-a$ 以外の解は、$x^2 - 2a(a+1)x + a^3 = 0$ の解である。これを解いて、

$$x = a(a+1) \pm \sqrt{a^2(a+1)^2 - a^3} = a(a+1) \pm a\sqrt{a^2+a+1}$$

ここで、これら2解が $-a$ と一致しないことを確認する。 $x=-a$ を2次方程式に代入すると、

$$(-a)^2 - 2a(a+1)(-a) + a^3 = 3a^3+3a^2 > 0$$

となり成立しないため、全体として異なる3つの実数解となる。

(3) (2)の解のうち、$-a$ 以外の2解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とおく。

$$\alpha = a(a+1) - a\sqrt{a^2+a+1}, \quad \beta = a(a+1) + a\sqrt{a^2+a+1}$$

ここで、$\alpha$ と $-a$ の大小を比較する。

$$\alpha - (-a) = a^2+2a - a\sqrt{a^2+a+1} = a \left( a+2 - \sqrt{a^2+a+1} \right)$$

$(a+2)^2 - (\sqrt{a^2+a+1})^2 = (a^2+4a+4) - (a^2+a+1) = 3a+3 > 0$ であり、$a>0$ より $a+2 > \sqrt{a^2+a+1}$ となるため、$\alpha > -a$ である。したがって、3解の大小関係は $-a < \alpha < \beta$ となる。 $f(x) = (x+a)^2(x-\alpha)(x-\beta)$ と表せるため、$f(x) \geqq 0$ となるのは $x \leqq \alpha$ または $x \geqq \beta$ の範囲である。このうち、$y=f(x)$ のグラフと $x$軸とで囲まれる有界な図形は、$-a \leqq x \leqq \alpha$ の区間に存在する。求める面積 $S(a)$ は、

$$S(a) = \int_{-a}^{\alpha} f(x) \,dx = \int_{-a}^{\alpha} (x+a)^2 \left\{ x^2 - 2a(a+1)x + a^3 \right\} \,dx$$

$x+a = t$ とおくと、$dx = dt$ であり、積分区間は $0 \to \alpha+a$ となる。

$$x^2 - 2a(a+1)x + a^3 = (t-a)^2 - 2a(a+1)(t-a) + a^3 = t^2 - 2a(a+2)t + 3a^2(a+1)$$

よって、面積の積分は以下のように計算できる。

$$S(a) = \int_{0}^{\alpha+a} t^2 \left\{ t^2 - 2a(a+2)t + 3a^2(a+1) \right\} \,dt$$

$$S(a) = \left[ \frac{1}{5}t^5 - \frac{a(a+2)}{2}t^4 + a^2(a+1)t^3 \right]_{0}^{\alpha+a}$$

ここで、$u = \frac{\alpha+a}{a} = a+2 - \sqrt{a^2+a+1}$ とおくと、$\alpha+a = au$ となる。これを代入すると、

$$S(a) = \frac{1}{5}(au)^5 - \frac{a(a+2)}{2}(au)^4 + a^2(a+1)(au)^3$$

$$S(a) = a^5 \left\{ \frac{u^5}{5} - \frac{a+2}{2}u^4 + (a+1)u^3 \right\}$$

求める極限は、両辺を $a^5$ で割ることで得られる。

$$\lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5} = \lim_{a \to +0} \left\{ \frac{u^5}{5} - \frac{a+2}{2}u^4 + (a+1)u^3 \right\}$$

$a \to +0$ のとき、$u \to 0+2 - \sqrt{0+0+1} = 1$ であるから、

$$\lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5} = \frac{1^5}{5} - \frac{0+2}{2} \cdot 1^4 + (0+1) \cdot 1^3$$

$$\lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5} = \frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$$

解説

方程式の実数解の個数を定数分離によって帰着させる定石問題である。(2)で極小値をとる $x$ 座標が重解になることに気づけば、4次式の因数分解が容易になる。 (3)の面積計算では積分区間の見極めが重要である。解の大小関係を把握することで、$-a \leqq x \leqq \alpha$ が該当部分であると判断できる。積分計算では $x+a=t$ の置換を行うことで、展開の労力を大幅に削減できる。さらに、極限計算において積分上限の $\alpha+a$ をそのまま代入して展開するのではなく、$a$ でくくり出して比率の形におきかえる工夫をすることで、見通しよく極限を求めることができる。