数学3 最大最小・解の個数問題 67 解説

方針・初手

四角形 $\text{OAPB}$ の面積 $S$ を求めるために、図形を2つの三角形に分割する。分割の方法には、線分 $\text{AB}$ で分ける $\triangle\text{OAB} + \triangle\text{PAB}$ と、線分 $\text{OP}$ で分ける $\triangle\text{OAP} + \triangle\text{OBP}$ の2通りが考えられる。(1) では $\angle\text{APB}$ が固定されているため、前者による分割が有効である。(2) では条件 $x=y$ かつ $a=b$ を利用して $S$ を1変数の関数で表し、その最大値を考える。

解法1

(1)

四角形 $\text{OAPB}$ の面積 $S$ は、線分 $\text{AB}$ によって $\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{PAB}$ の和として表される。

$\angle\text{APB} = \theta$ （定数）とおく。 $\text{PA} = \text{PB} = 1$ より、$\triangle\text{PAB}$ は形状が固定された二等辺三角形であるから、余弦定理より $\text{AB}$ の長さの2乗は以下のようになる。

$$\text{AB}^2 = \text{PA}^2 + \text{PB}^2 - 2\text{PA} \cdot \text{PB}\cos\theta = 2 - 2\cos\theta$$

したがって、線分 $\text{AB}$ の長さは一定である。これを $\text{AB} = L \ (L > 0)$ とおく。 $\triangle\text{PAB}$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta$ であり、これも定数となる。

一方、$\text{A}(a, 0)$、$\text{B}(0, b)$ であるから、直角三角形 $\text{OAB}$ において三平方の定理より次が成り立つ。

$$a^2 + b^2 = L^2$$

$\triangle\text{OAB}$ の面積は $\frac{1}{2}ab$ であるから、面積 $S$ は次のように表される。

$$S = \triangle\text{OAB} + \triangle\text{PAB} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}\sin\theta$$

ここで、$S$ が最大となるのは $ab$ が最大となるときである。 $a > 0, b > 0$ より相加平均と相乗平均の関係から、次の不等式が成り立つ。

$$a^2 + b^2 \geqq 2ab$$

$$L^2 \geqq 2ab$$

$$ab \leqq \frac{L^2}{2}$$

等号が成立するのは $a^2 = b^2$、すなわち $a > 0, b > 0$ より $a = b$ のときである。このとき、$\text{A}(a, 0)$、$\text{B}(0, a)$ となる。また、$\text{PA} = \text{PB}$ より、点 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ の垂直二等分線上にある。線分 $\text{AB}$ の中点は $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$ であり、直線 $\text{AB}$ の傾きは $-1$ であるから、その垂直二等分線は直線 $y = x$ である。点 $\text{P}(x, y)$ はこの直線上にあるので、$x = y$ となる。以上より、$S$ が最大となるとき、$x = y$ かつ $a = b$ であることが示された。

(2)

$x = y$ かつ $a = b$ のとき、各点の座標は $\text{P}(x, x)$、$\text{A}(a, 0)$、$\text{B}(0, a)$ である。四角形 $\text{OAPB}$ の面積 $S$ は、$\triangle\text{OAP}$ と $\triangle\text{OBP}$ の和として計算する。

$$S = \triangle\text{OAP} + \triangle\text{OBP} = \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}ax = ax$$

$\text{PA} = 1$ より、次の式が成り立つ。

$$(x - a)^2 + x^2 = 1$$

$$2x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$$

$x$ は実数であるから、この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ である。

$$\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 1) = 2 - a^2 \geqq 0$$

$a > 0$ であるから、$0 < a \leqq \sqrt{2}$ を得る。方程式を解くと、$x$ は次のように求まる。

$$x = \frac{a \pm \sqrt{2 - a^2}}{2}$$

$S = ax$ を最大にするためには $x$ が大きい値をとればよいので、$x = \frac{a + \sqrt{2 - a^2}}{2}$ と選択する。（このとき $a > 0$ かつ $\sqrt{2 - a^2} \geqq 0$ より $x > 0$ の条件を満たす）

$$S = a \cdot \frac{a + \sqrt{2 - a^2}}{2} = \frac{1}{2}\left(a^2 + a\sqrt{2 - a^2}\right)$$

$0 < a \leqq \sqrt{2}$ より、$a = \sqrt{2}\sin\phi \ \left(0 < \phi \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ とおく。 $0 < \phi \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\phi \geqq 0$ であるため、次のように変形できる。

$$\sqrt{2 - a^2} = \sqrt{2 - 2\sin^2\phi} = \sqrt{2\cos^2\phi} = \sqrt{2}\cos\phi$$

これを $S$ の式に代入する。

$$S = \frac{1}{2}\left(2\sin^2\phi + 2\sin\phi\cos\phi\right) = \sin^2\phi + \sin\phi\cos\phi$$

半角の公式と2倍角の公式を用いて次数を下げる。

$$S = \frac{1 - \cos 2\phi}{2} + \frac{1}{2}\sin 2\phi = \frac{1}{2}\left(\sin 2\phi - \cos 2\phi\right) + \frac{1}{2}$$

三角関数の合成を用いる。

$$S = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2\phi - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{2}$$

$0 < \phi \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$0 < 2\phi \leqq \pi$ であるから、偏角の範囲は以下のようになる。

$$-\frac{\pi}{4} < 2\phi - \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$$

したがって、$\sin\left(2\phi - \frac{\pi}{4}\right)$ は $2\phi - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $\phi = \frac{3\pi}{8}$ のとき最大値 $1$ をとる。よって、$S$ の最大値は以下のように求まる。

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$$

解法2

(2) の別解

$S = \frac{1}{2}\left(a^2 + a\sqrt{2 - a^2}\right)$ （ただし $0 < a \leqq \sqrt{2}$）を導くところまでは解法1と同じである。 $f(a) = a^2 + a\sqrt{2 - a^2}$ とおき、$f(a)$ の増減を調べる。

$$f'(a) = 2a + \sqrt{2 - a^2} + a \cdot \frac{-2a}{2\sqrt{2 - a^2}} = \frac{2a\sqrt{2 - a^2} + 2 - 2a^2}{\sqrt{2 - a^2}}$$

$f'(a) = 0$ とすると、次の等式を得る。

$$a\sqrt{2 - a^2} = a^2 - 1$$

$a > 0$ かつ $\sqrt{2 - a^2} \geqq 0$ より左辺は $0$ 以上であるから、右辺も $a^2 - 1 \geqq 0$ でなければならない。すなわち $a \geqq 1$ が必要である。両辺を2乗して整理する。

$$a^2(2 - a^2) = a^4 - 2a^2 + 1$$

$$2a^4 - 4a^2 + 1 = 0$$

$a^2$ について解くと、

$$a^2 = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$$

$a \geqq 1$ より $a^2 \geqq 1$ であるから、適するのは $a^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ である。このとき $f'(a) = 0$ となり、その前後で $f'(a)$ の符号が正から負に変わるため、$f(a)$ は極大かつ最大となる。 $a^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ のとき、$a\sqrt{2 - a^2} = a^2 - 1$ が成り立つので、$f(a)$ の値は次のように計算できる。

$$f(a) = a^2 + (a^2 - 1) = 2a^2 - 1 = 2 \left( \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \right) - 1 = \sqrt{2} + 1$$

よって、$S = \frac{1}{2}f(a)$ の最大値は $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ である。

解説

(1) では四角形を $\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{PAB}$ に分割し、$\text{AB}$ の長さが一定であることに着目するのがポイントである。相加平均と相乗平均の関係を利用することで、簡潔に最大値をとる条件を導くことができる。 (2) は1変数の最大値問題に帰着させる典型的な流れである。ルートを含む関数の最大値については、そのまま微分して求める方法（解法2）と、三角関数で置換して合成を用いる方法（解法1）がある。本問の場合は、置換を用いる方が式の見通しが良く、計算ミスを減らすことができる。