数学3 最大最小・解の個数問題 68 解説

方針・初手

三角形の内角の和が $\pi$ であることと、すべての内角が正であるという図形的条件から、$\theta$ の取りうる値の範囲を絞り込む。三角形の面積 $S$ は、内接円の半径 $r$ と周の半分の長さ $s$ を用いて $S = rs$ と表される。この公式を利用するために、各頂点から内接円との接点までの距離を $\theta$ を用いて表す方針をとる。面積 $S$ の式が得られた後は、加法定理や積和の公式を用いて式を整理するか、$\theta$ について微分して増減を調べることで最小値を求める。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ において、内角の和は $\pi$ であるから、

$$\angle\text{C} = \pi - (\angle\text{A} + \angle\text{B}) = \pi - \left(\frac{\pi}{3} + 2\theta\right) = \frac{2}{3}\pi - 2\theta$$

三角形の内角はすべて正であるから、$\angle\text{B} > 0$ かつ $\angle\text{C} > 0$ が成り立つ。

$$2\theta > 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{2}{3}\pi - 2\theta > 0$$

これを解いて、求める $\theta$ の範囲は、

$$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$

(2)

$\triangle\text{ABC}$ の内心を $\text{I}$ とし、内接円と辺 $\text{BC}$、$\text{CA}$、$\text{AB}$ との接点をそれぞれ $\text{P}$、$\text{Q}$、$\text{R}$ とする。内心 $\text{I}$ と各頂点を結ぶ線分は内角を二等分するため、各頂点から接点までの距離は、内接円の半径 $r = 1$ を用いて次のように表せる。

$$\text{AR} = \text{AQ} = \frac{r}{\tan \frac{\angle\text{A}}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \sqrt{3}$$

$$\text{BR} = \text{BP} = \frac{r}{\tan \frac{\angle\text{B}}{2}} = \frac{1}{\tan \theta}$$

$$\text{CP} = \text{CQ} = \frac{r}{\tan \frac{\angle\text{C}}{2}} = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$$

$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は、中心を共有する3つの三角形 $\triangle\text{IAB}$、$\triangle\text{IBC}$、$\triangle\text{ICA}$ の面積の和として求められる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} r \cdot \text{AB} + \frac{1}{2} r \cdot \text{BC} + \frac{1}{2} r \cdot \text{CA} \\ &= \frac{1}{2} r (\text{AR} + \text{BR} + \text{BP} + \text{CP} + \text{CQ} + \text{AQ}) \\ &= r (\text{AR} + \text{BP} + \text{CP}) \end{aligned}$$

$r = 1$ であるから、これらを代入して、

$$S = \sqrt{3} + \frac{1}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$$

ここから式を整理する。$\tan$ を $\sin$ と $\cos$ で表して通分する。

$$S = \sqrt{3} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$$

$$\begin{aligned} S &= \sqrt{3} + \frac{\cos \theta \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) + \sin \theta \cos \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}{\sin \theta \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)} \end{aligned}$$

分子にサインの加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ を適用し、分母に積和の公式 $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}$ を適用する。

$$\begin{aligned} S &= \sqrt{3} + \frac{\sin \left\{\left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) + \theta\right\}}{-\frac{1}{2} \left\{ \cos \frac{\pi}{3} - \cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) \right\}} \\ &= \sqrt{3} + \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\frac{1}{2} \cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} \cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{4}} \\ &= \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{2\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) - 1} \end{aligned}$$

(3)

(1) より、$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ であるから、

$$-\frac{\pi}{3} < 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3}$$

この範囲において、$\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right)$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{1}{2} < \cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) \leqq 1$$

したがって、

$$0 < 2\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) - 1 \leqq 1$$

$S$ は分母 $2\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) - 1$ が最大のとき、すなわち $\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1$ のときに最小となる。

$\cos \left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1$ となるのは、$2\theta - \frac{\pi}{3} = 0$ より $\theta = \frac{\pi}{6}$ のときであり、これは $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ を満たす。

このとき最小値は、

$$S = \sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 1 - 1} = 3\sqrt{3}$$

解法2

(3) の別解：微分を用いる方法

(2) で得られた $S$ の式をそのまま $\theta$ の関数 $S(\theta)$ として微分する。

$$S(\theta) = \sqrt{3} + \frac{1}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$$

商の微分公式より $\left(\frac{1}{\tan x}\right)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ であるから、合成関数の微分に注意して導関数を求める。

$$S'(\theta) = -\frac{1}{\sin^2 \theta} - \left\{ -\frac{1}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)} \right\} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)} - \frac{1}{\sin^2 \theta}$$

通分して分子を整理する。

$$S'(\theta) = \frac{\sin^2 \theta - \sin^2 \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}{\sin^2 \theta \sin^2 \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)}$$

ここで分子を和と差の積に因数分解し、和差の公式を用いて変形する。

$$\begin{aligned} \text{(分子)} &= \left\{ \sin \theta + \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right\} \left\{ \sin \theta - \sin \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right) \right\} \\ &= \left\{ 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \right\} \left\{ 2\cos\frac{\pi}{6}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \right\} \\ &= \left\{ 2 \cdot \frac{1}{2} \cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \right\} \left\{ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \right\} \\ &= \sqrt{3} \cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) \end{aligned}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ において、$-\frac{\pi}{6} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6}$ であるため、常に $\cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) > 0$ であり、分母も常に正である。したがって、$S'(\theta)$ の符号は $\sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)$ の符号と一致する。

$S'(\theta) = 0$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}$ のときであり、増減表は以下のようになる。

$\theta$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$S'(\theta)$		$-$	$0$	$+$
$S(\theta)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

増減表より、$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき $S$ は最小値をとる。

$$S\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} + \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

解説

内接円の半径が与えられた三角形の面積を求める問題では、$S = rs$（$s$ は周長の半分）の公式に帰着させるのが定石である。各辺の長さを内接円の接点までの距離に分割し、それぞれを三角比で表すことで自然に立式できる。面積の式が得られたあとの処理として、三角関数の諸公式（加法定理、積和・和積の公式）を用いて1つの変数にまとめる方法（解法1）と、微分を用いて関数の増減を直接調べる方法（解法2）の2通りのアプローチがある。いずれも入試数学では必須の計算力であるため、どちらの方針でも最後まで解き切れるようにしておきたい。