数学3 最大最小・解の個数問題 69 解説

方針・初手

(1) まずは $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求め、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を調べる。極値を求めるため、増減表を作成し、関数の増減を把握する。

(2) (1) で得た増減表や不連続点における極限を利用して、$y=f(x)$ のグラフの概形を捉える。方程式 $f(x)=a$ の実数解の個数は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=a$ の共有点の個数に一致することを利用して、条件を満たす $a$ の範囲を絞り込む。

(3) $f'(x)$ をさらに微分して第2次導関数 $f''(x)$ を求める。三角関数の基本対称式に関する変形などを活用して、$f''(x)$ を $\sin x + \cos x$ と $\sin x \cos x$ で表し、与えられた $X$ の式に帰着させる。

解法1

(1) 与えられた関数を微分する。

$$f(x) = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}$$

$$f'(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$$

$f'(x) = 0$ とすると、分子が $0$ になるため $\sin^3 x = \cos^3 x$ すなわち $\tan^3 x = 1$ となる。 $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ より $\cos x \neq 0$ であるから、$\tan x = 1$ が成り立つ。 $0 < x < 2\pi$ において、これを満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ である。

ここで、分子を因数分解する。

$$\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x - \cos x)\left(1 + \frac{1}{2}\sin 2x\right)$$

常に $1 + \frac{1}{2}\sin 2x > 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は $\sin x - \cos x$ の符号と一致する。これに基づき、定義域における増減を調べると以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$	$\cdots$	$(\pi)$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\frac{3\pi}{2}\right)$	$\cdots$	$(2\pi)$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$	$0$	$-$		$-$
$f(x)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$		$\nearrow$		$\nearrow$	極大	$\searrow$		$\searrow$

増減表から、極小値をとるのは $x = \frac{\pi}{4}$ のときである。そのときの極小値は以下の通り計算できる。

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}$$

(2) 方程式 $f(x) = a$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数と等しい。 (1) の増減表に加えて、定義域の境界における極限を調べる。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲：

$$\lim_{x \to +0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} f(x) = \infty$$

極小値は $2\sqrt{2}$ であるため、$y = a$ $(a > 0)$ との共有点は、$0 < a < 2\sqrt{2}$ のとき $0$ 個、$a = 2\sqrt{2}$ のとき $1$ 個、$a > 2\sqrt{2}$ のとき $2$ 個である。

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ の範囲：

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to \pi-0} f(x) = \infty$$

単調増加であるため、$y = a$ $(a > 0)$ との共有点は常に $1$ 個である。

$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ の範囲：

$$\lim_{x \to \pi+0} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}-0} f(x) = -\infty$$

$x = \frac{5\pi}{4}$ で極大値 $-2\sqrt{2}$ をとる。$a > 0$ であるため、共有点は常に $0$ 個である。

$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ の範囲：

$$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}+0} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to 2\pi-0} f(x) = -\infty$$

単調減少であるため、$y = a$ $(a > 0)$ との共有点は常に $1$ 個である。

したがって、$y = a$ $(a > 0)$ との共有点の総数が $4$ 個となるのは、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $2$ 個の共有点をもつときである。ゆえに、求める $a$ の値の範囲は $a > 2\sqrt{2}$ となる。

(3) (1) より、$f'(x) = -\cos x (\sin x)^{-2} + \sin x (\cos x)^{-2}$ であるから、これを微分する。

$$f''(x) = \sin x (\sin x)^{-2} - \cos x \cdot (-2)(\sin x)^{-3}\cos x + \cos x (\cos x)^{-2} + \sin x \cdot (-2)(\cos x)^{-3}(-\sin x)$$

$$f''(x) = \frac{1}{\sin x} + \frac{2\cos^2 x}{\sin^3 x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{2\sin^2 x}{\cos^3 x}$$

これを $\sin x \cos x$ で通分しやすくするため、同類項をまとめる。

$$f''(x) = \left( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \right) + 2 \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^3 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} \right) = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} + 2 \frac{\cos^5 x + \sin^5 x}{\sin^3 x \cos^3 x}$$

ここで、$\sin^5 x + \cos^5 x$ を対称式の性質を用いて変形する。

$$\sin^5 x + \cos^5 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^3 x + \cos^3 x) - \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x)$$

$$= 1 \cdot (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x)$$

$$= (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x - \sin^2 x \cos^2 x)$$

これを $f''(x)$ の式に代入する。

$$f''(x) = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} + \frac{2(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x - \sin^2 x \cos^2 x)}{\sin^3 x \cos^3 x}$$

よって、$Y = \frac{f''(x)}{\sin x + \cos x}$ は次のように整理できる。

$$Y = \frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{2(1 - \sin x \cos x - \sin^2 x \cos^2 x)}{(\sin x \cos x)^3}$$

ここで、$X = \sin 2x = 2\sin x \cos x$ より、$\sin x \cos x = \frac{X}{2}$ である。これを $Y$ の式に代入する。

$$Y = \frac{1}{\frac{X}{2}} + \frac{2 \left( 1 - \frac{X}{2} - \left(\frac{X}{2}\right)^2 \right)}{\left(\frac{X}{2}\right)^3} = \frac{2}{X} + \frac{2 \left( 1 - \frac{X}{2} - \frac{X^2}{4} \right)}{\frac{X^3}{8}} = \frac{2}{X} + \frac{16 - 8X - 4X^2}{X^3}$$

これを通分してまとめる。

$$Y = \frac{2X^2 + 16 - 8X - 4X^2}{X^3} = \frac{-2X^2 - 8X + 16}{X^3}$$

解説

本問は三角関数の微分法、グラフの概形、および高次導関数と対称式の扱いを問う総合問題である。 (1) と (2) は増減表を正確に作成し、漸近線の挙動（定義域の端や不連続点における極限）を調べることで、グラフの形を把握する典型的な解法を用いている。 (3) では、得られた導関数をそのまま微分すると式が非常に煩雑になるため、基本対称式 $u = \sin x + \cos x, v = \sin x \cos x$ を用いた変形を行うと見通しが良くなる。$\sin^5 x + \cos^5 x$ の変形は、$a^5 + b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3) - a^2 b^2(a+b)$ という恒等式を知っていると計算過程がスムーズに進行する。