数学3 最大最小・解の個数問題 73 解説

方針・初手

(1)は、積分区間における被積分関数の符号を確認し、絶対値を外して定積分を計算する。$f(x)$ には $\cos x$ と $\sin x$ が含まれているため、$\sin x$ を微分したものが $\cos x$ になる関係を利用して置換積分を行う。 (2)は、接線の方程式を求める基本問題である。積の微分法と合成関数の微分法を用いて導関数 $f'(x)$ を計算し、接点の座標と傾きから直線の方程式を立てる。 (3)は、最大値を求めるために $f'(x) = 0$ となる $x$ を探し、増減表を作成する。(2)で求めた $f'(x)$ を三角関数の相互関係を用いて $\sin x$ だけの式に整理し、因数分解することで極値をとる $x$ を見つける。

解法1

(1)

$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x \geqq 0$ であり、$e^{\sqrt{2}\sin x} > 0$ であるから、$f(x) \geqq 0$ が成り立つ。したがって、曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は

$$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)e^{\sqrt{2}\sin x} dx$$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、$dt = \cos x dx$ である。 $x$ が $-\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$t$ は $-1$ から $1$ まで変化する。

$$S = \int_{-1}^{1} e^{\sqrt{2}t} dt$$

$$S = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}t} \right]_{-1}^{1}$$

$$S = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{\sqrt{2}} - e^{-\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (e^{\sqrt{2}} - e^{-\sqrt{2}})$$

(2)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。積の微分法と合成関数の微分法より

$$f'(x) = (-\sin x)e^{\sqrt{2}\sin x} + (\cos x) \cdot \left(\sqrt{2}\cos x \cdot e^{\sqrt{2}\sin x}\right)$$

$$f'(x) = (\sqrt{2}\cos^2 x - \sin x)e^{\sqrt{2}\sin x}$$

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$y$ 座標は

$$f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) e^{\sqrt{2}\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}e}$$

また、接線の傾きは

$$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left\{ \sqrt{2}\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right\} e^{\sqrt{2}\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$$

$$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left\{ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right\} e^{-1} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) e^{-1} = \frac{\sqrt{2}}{e}$$

したがって、求める接線の方程式は

$$y - \frac{1}{\sqrt{2}e} = \frac{\sqrt{2}}{e} \left\{ x - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right\}$$

$$y = \frac{\sqrt{2}}{e} x + \frac{\sqrt{2}\pi}{4e} + \frac{\sqrt{2}}{2e}$$

$$y = \frac{\sqrt{2}}{e} x + \frac{\sqrt{2}(\pi+2)}{4e}$$

(3)

(2) より、$f'(x) = (\sqrt{2}\cos^2 x - \sin x)e^{\sqrt{2}\sin x}$ である。 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて変形すると

$$f'(x) = \left\{ \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) - \sin x \right\} e^{\sqrt{2}\sin x}$$

$$f'(x) = - (\sqrt{2}\sin^2 x + \sin x - \sqrt{2}) e^{\sqrt{2}\sin x}$$

カッコ内を因数分解すると

$$f'(x) = - (\sqrt{2}\sin x - 1)(\sin x + \sqrt{2}) e^{\sqrt{2}\sin x}$$

$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$-1 \leqq \sin x \leqq 1$ であるため、常に $\sin x + \sqrt{2} > 0$ かつ $e^{\sqrt{2}\sin x} > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $-(\sqrt{2}\sin x - 1)$ の符号と一致する。

$f'(x) = 0$ となるのは $\sqrt{2}\sin x - 1 = 0$、すなわち $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときであり、$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ より $x = \frac{\pi}{4}$ である。

増減は以下のようになる。 $-\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $f'(x) > 0$。 $\frac{\pi}{4} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $f'(x) < 0$。

よって、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で最大となる。最大値は

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) e^{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{e}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}e}{2}$$

解説

微積分を総合的に問う標準的な問題である。 (1)では、$f(x)$ の符号を区間内で判定した上で定積分を行う。$e^{g(x)} g'(x)$ の形が現れていることに気づけば積分は容易である。 (3)における導関数の符号判定では、指数関数部分と $\sin x + \sqrt{2}$ が常に正であることを利用すると、議論が簡明になる。不用意に全体の符号変化を追うのではなく、符号を決定する因子のみに注目することが計算ミスを防ぐポイントである。