数学3 最大最小・解の個数問題 75 解説

方針・初手

(1) 関数 $f(x) = x - \tan x$ とおき、$x$ の定義域を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ としてその増減を調べる。導関数の符号から単調性を、区間の両端での極限から値域を確認し、中間値の定理を用いて解の存在と一意性を示す。

(2) 曲線 $y = \sin x$ の2点における接線が一致する条件を求める。一方の接点を問題文で与えられた $\mathrm{P}(t, \sin t)$、もう一方の接点を $\mathrm{Q}(s, \sin s)$ ($s \geqq \frac{\pi}{2}$) とおく。それぞれの点における接線の方程式を求め、傾きと $y$ 切片が一致する条件から、$s$ と $t$ の関係式を導く。

解法1

(1) $|x| < \frac{\pi}{2}$ すなわち $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において、関数 $f(x)$ を次のように定める。

$$f(x) = x - \tan x$$

この関数を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x$$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$x \neq 0$ のとき $f'(x) < 0$、$x = 0$ のとき $f'(0) = 0$ である。したがって、$f(x)$ はこの区間において常に単調に減少する。

また、区間の両端における極限は以下の通りである。

$$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} (x - \tan x) = \infty$$

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} (x - \tan x) = -\infty$$

$f(x)$ は $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ において連続であるから、その値域は実数全体である。ゆえに、単調減少性と中間値の定理により、任意の実数 $a$ に対して $f(x) = a$ をみたす $x$ が区間 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ にちょうど1個存在する。

(2) $y = \sin x$ より $y' = \cos x$ である。曲線 $C$ 上の点 $\mathrm{P}(t, \sin t)$ における接線の方程式は、次のようになる。

$$y - \sin t = (\cos t)(x - t)$$

すなわち、

$$y = (\cos t)x + \sin t - t \cos t \quad \cdots \text{①}$$

この接線が $x \geqq \frac{\pi}{2}$ の領域に含まれる点 $\mathrm{Q}(s, \sin s)$ （ただし $s \geqq \frac{\pi}{2}$）においても曲線 $C$ と接するとする。点 $\mathrm{Q}$ における接線の方程式は、同様にして次のように表される。

$$y = (\cos s)x + \sin s - s \cos s \quad \cdots \text{②}$$

直線①と直線②が一致するための必要十分条件は、傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいことである。

$$\begin{cases} \cos t = \cos s & \cdots \text{③} \\ \sin t - t \cos t = \sin s - s \cos s & \cdots \text{④} \end{cases}$$

$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ および条件③より、$m$ を整数として、$s$ は次のように表される。

$$s = 2m\pi + t \quad \text{または} \quad s = 2m\pi - t$$

それぞれの場合について考える。

(i) $s = 2m\pi + t$ のとき $s \geqq \frac{\pi}{2}$ かつ $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ より、$m \geqq 1$ の整数（自然数）である。このとき、$\cos s = \cos t$、$\sin s = \sin t$ となる。これを④に代入する。

$$\begin{aligned} \sin t - t \cos t &= \sin t - (2m\pi + t) \cos t \\ -t \cos t &= -2m\pi \cos t - t \cos t \\ 2m\pi \cos t &= 0 \end{aligned}$$

$m \neq 0$ より $\cos t = 0$ となるが、$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ において $\cos t > 0$ であるため、これをみたす $t$ は存在しない。

(ii) $s = 2m\pi - t$ のとき $s \geqq \frac{\pi}{2}$ かつ $-\frac{\pi}{2} < -t < \frac{\pi}{2}$ より、$m \geqq 1$ の整数（自然数）である。このとき、$\cos s = \cos(-t) = \cos t$、$\sin s = \sin(-t) = -\sin t$ となる。これを④に代入する。

$$\begin{aligned} \sin t - t \cos t &= -\sin t - (2m\pi - t) \cos t \\ \sin t - t \cos t &= -\sin t - 2m\pi \cos t + t \cos t \\ 2\sin t - 2t \cos t &= -2m\pi \cos t \end{aligned}$$

$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ より $\cos t \neq 0$ であるから、両辺を $-2\cos t$ で割る。

$$t - \tan t = m\pi$$

$m$ は自然数であり、$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ である。 (1) の結果と $x_n$ の定義より、$t - \tan t = n\pi$ をみたす $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$ の範囲の解は $x_n$ のみであるから、$t$ は $x_1, x_2, x_3, \dots$ のいずれかと等しくなる。

逆に、$t$ がある自然数 $n$ に対し $t = x_n$ であるとする。このとき、$t - \tan t = n\pi$ ($-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$) が成り立つ。 $s = 2n\pi - t$ とおくと、$n \geqq 1$ より $s > 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \geqq \frac{\pi}{2}$ をみたす。この $s$ は条件③をみたし、さらに $t - \tan t = n\pi$ を変形した $t \cos t - \sin t = n\pi \cos t$ を用いることで、条件④もみたすことが確認できる。したがって、点 $\mathrm{Q}(s, \sin s)$ における接線は、点 $\mathrm{P}(t, \sin t)$ における接線と一致する。

以上より、求める必要十分条件は $t$ が $x_1, x_2, x_3, \dots$ のいずれかと等しいことであると示された。

解説

2つの曲線（または同一の曲線）に共通する接線を求める際の定石通り、2つの接点をおいてそれぞれの接線の方程式を比較する手法が有効である。本問では、$\sin x$ の周期性と対称性を利用することで、$\cos t = \cos s$ をみたす $s$ の一般角を立式し、代数的な処理に持ち込んでいる。 (1)は、方程式 $x - \tan x = n\pi$ の解が区間 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ にただ一つ存在することを保証するための誘導であり、(2)の論証を厳密に行うための土台となっている。