数学3 最大最小・解の個数問題 78 解説

方針・初手

与えられた関数の導関数を求め、増減表を作成することで関数の最大値を調べる。

解法1

与えられた関数は次のように定義される。

$$f(x) = xe^{-x}$$

この関数を $x$ について微分する。積の微分法を用いると、導関数 $f'(x)$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' \\ &= 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) \\ &= (1 - x)e^{-x} \end{aligned}$$

すべての実数 $x$ において $e^{-x} > 0$ であるため、$f'(x) = 0$ となるのは以下のときである。

$$1 - x = 0$$

これを解くと、$x = 1$ を得る。これをもとに、$f(x)$ の増減表を作成する。

$$\begin{array}{c|c|c|c} x & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow \\ \end{array}$$

増減表より、$f(x)$ は $x = 1$ で極大かつ最大となる。このときの関数の値 $f(1)$ を計算する。

$$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$

したがって、求める最大値は $\frac{1}{e}$ である。

解説

数学IIIの微分法の基本的な問題である。積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分法 $(e^{-x})' = -e^{-x}$ を用いて、正確に導関数を計算できるかが問われている。指数関数 $e^{-x}$ は常に正の値をとるため、導関数の符号は $(1 - x)$ の部分のみによって決定される。極値をとる点が1つだけであり、その前後で単調増加から単調減少に転じるため、この極大値がそのまま実数全体での最大値となる。