数学3 最大最小・解の個数問題 80 解説

方針・初手

$f(x)$ の式に現れる $e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$ の部分をまとめて一つの変数 $t$ とおき、$t$ の関数として捉える。まず $x$ が $-1 \leqq x \leqq 1$ を動くときの $t$ のとりうる値の範囲を調べ、その後 $t$ の関数として最大値および最小値を求める。

解法1

$$t = e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$$

とおく。まず、$-1 \leqq x \leqq 1$ における $t$ のとりうる値の範囲を求める。 $x^2 = u$ とおくと、$-1 \leqq x \leqq 1$ より $0 \leqq u \leqq 1$ である。$u$ の関数として $g(u)$ を

$$g(u) = e^{-u} + \frac{1}{4}u + 1 \quad (0 \leqq u \leqq 1)$$

とすると、その導関数は

$$g'(u) = -e^{-u} + \frac{1}{4}$$

となる。$g'(u) = 0$ となる $u$ を求めると、

$$e^{-u} = \frac{1}{4} \iff e^u = 4 \iff u = \log 4$$

ここで、問題文の条件より $e = 2.71\cdots < 4$ であるから、底が $e$ の対数をとると

$$1 = \log e < \log 4$$

が成り立つ。よって、$0 \leqq u \leqq 1$ の範囲において $u < \log 4$ であり、$e^u < 4$ すなわち $e^{-u} > \frac{1}{4}$ が成り立つ。したがって、この範囲でつねに $g'(u) < 0$ となり、$g(u)$ は単調に減少する。

$g(u)$ の最大値は $u=0$ のときで $g(0) = e^0 + 0 + 1 = 2$、最小値は $u=1$ のときで $g(1) = e^{-1} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{e} + \frac{5}{4}$ であるから、$t$ のとりうる値の範囲は

$$\frac{1}{e} + \frac{5}{4} \leqq t \leqq 2 \quad \cdots \text{(1)}$$

となる。

次に、$f(x)$ を $t$ で表した関数を $h(t)$ とすると、

$$h(t) = t + \frac{1}{t}$$

これを $t$ について微分すると、

$$h'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$$

ここで、(1) における $t$ の最小値について、$e = 2.71\cdots > 2$ より

$$\frac{1}{e} + \frac{5}{4} > 0 + 1 = 1$$

であるから、定義域 (1) においてつねに $t > 1$ である。よって $h'(t) > 0$ となり、$h(t)$ は (1) の範囲で単調に増加する。

したがって、$h(t)$ の最大値は $t=2$（すなわち $x=0$）のときで、

$$h(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

最小値は $t = \frac{1}{e} + \frac{5}{4} = \frac{5e+4}{4e}$（すなわち $x=\pm 1$）のときで、

$$\begin{aligned} h\left(\frac{5e+4}{4e}\right) &= \frac{5e+4}{4e} + \frac{4e}{5e+4} \\ &= \frac{(5e+4)^2 + 16e^2}{4e(5e+4)} \\ &= \frac{25e^2 + 40e + 16 + 16e^2}{20e^2 + 16e} \\ &= \frac{41e^2 + 40e + 16}{20e^2 + 16e} \end{aligned}$$

となる。

解説

共通部分を置き換えて式を簡略化する基本的な定石の組み合わせである。 $t = e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$ の増減を調べる際、導関数 $-e^{-x^2} + \frac{1}{4}$ の符号を判定することになる。ここで、問題文で与えられている $e = 2.71\cdots$ という近似値が、$e < 4$ であることの根拠として用いられる。また、$t + \frac{1}{t}$ は相加平均と相乗平均の大小関係などでもよく現れる形であるが、今回は定義域が $t > 1$ の範囲に限られているため、相加相乗平均の等号成立条件（$t=1$）は定義域外となる。そのため、微分を用いて単調増加であることを確認するのが最も確実な処理である。