数学3 最大最小・解の個数 問題 81 解説

方針・初手

曲線 $y = \cos x$ 上の点 $(t, \cos t)$ における接線の方程式を求め、それが点 $\mathrm{P}(a, b)$ を通るという条件から $t$ についての方程式を導く。問題は「条件を満たす実数 $t$ の個数が4個」であるから、導いた方程式が区間 $-\pi \leqq t \leqq \pi$ において相異なる4つの実数解をもつための $(a, b)$ の条件を考える。方程式を $f(t) = b$ の形に整理し、導関数 $f'(t)$ を用いて $y = f(t)$ の増減表を作成し、グラフの概形から直線 $y = b$ との共有点の個数を調べる。

解法1

$y = \cos x$ より $y' = -\sin x$ であるから、曲線上の点 $(t, \cos t)$ における接線の方程式は以下のようになる。

$$y - \cos t = -\sin t \cdot (x - t)$$

$$y = -x \sin t + t \sin t + \cos t$$

この接線が点 $\mathrm{P}(a, b)$ を通るため、次の等式が成り立つ。

$$b = -a \sin t + t \sin t + \cos t$$

$$b = (t - a) \sin t + \cos t$$

ここで、$f(t) = (t - a) \sin t + \cos t$ とおく。 条件を満たす $t$ の個数 $N(\mathrm{P})$ が 4 となるのは、$-\pi \leqq t \leqq \pi$ の範囲において、曲線 $y = f(t)$ と直線 $y = b$ が相異なる 4 つの共有点をもつときである。

関数 $f(t)$ を微分すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} f'(t) &= 1 \cdot \sin t + (t - a) \cos t - \sin t \\ &= (t - a) \cos t \end{aligned}$$

$-\pi \leqq t \leqq \pi$ において $f'(t) = 0$ となる $t$ の値は、$t - a = 0$ または $\cos t = 0$ より $t = a, \pm \frac{\pi}{2}$ である。 $0 < a < \pi$ であるから、$a$ と $\frac{\pi}{2}$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i) $0 < a < \frac{\pi}{2}$ のとき

$f'(t) = 0$ の解は小さい順に $t = -\frac{\pi}{2}, a, \frac{\pi}{2}$ となる。増減表は以下の通りである。

各極値および端点の値は以下の通りである。

$$\begin{aligned} f(-\pi) &= -1 \\ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= a + \frac{\pi}{2} \\ f(a) &= \cos a \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= -a + \frac{\pi}{2} \\ f(\pi) &= -1 \end{aligned}$$

$a > 0$ より $f(-\frac{\pi}{2}) > f(\frac{\pi}{2})$ であり、極小値 $f(a) = \cos a$ と $f(\frac{\pi}{2}) = -a + \frac{\pi}{2}$ の大小関係については、グラフの概形から極大値の方が大きいため $\cos a < -a + \frac{\pi}{2}$ である。また、$0 < a < \frac{\pi}{2}$ において $\cos a > 0 > -1$ である。 したがって、曲線 $y = f(t)$ と直線 $y = b$ が 4 つの共有点をもつ条件は、極小値より大きく小さい方の極大値より小さいことであるから、以下のようになる。

$$\cos a < b < -a + \frac{\pi}{2}$$

(ii) $a = \frac{\pi}{2}$ のとき

$f'(t) = \left(t - \frac{\pi}{2}\right) \cos t$ となる。 $t = \frac{\pi}{2}$ の前後で $t - \frac{\pi}{2}$ と $\cos t$ の符号が同時に変化するため、$f'(t)$ は $t = \frac{\pi}{2}$ で符号変化しない。したがって極値は $t = -\frac{\pi}{2}$ の 1 箇所のみとなり、共有点は最大でも 2 つとなるため不適である。

(iii) $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ のとき

$f'(t) = 0$ の解は小さい順に $t = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, a$ となる。増減表は以下の通りである。

各極値および端点の値は以下の通りである。

$$\begin{aligned} f(-\pi) &= -1 \\ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= a + \frac{\pi}{2} \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= -a + \frac{\pi}{2} \\ f(a) &= \cos a \\ f(\pi) &= -1 \end{aligned}$$

$a > \frac{\pi}{2}$ より $f(-\frac{\pi}{2}) > 0$、$\cos a < 0$ であるため、小さい方の極大値は $\cos a$ である。ここで、極小値 $f(\frac{\pi}{2}) = -a + \frac{\pi}{2}$ と端点の値 $-1$ の大小関係によって、共有点が 4 つとなる条件が変わるためさらに場合分けを行う。

(ア) $-a + \frac{\pi}{2} \geqq -1$ すなわち $\frac{\pi}{2} < a \leqq \frac{\pi}{2} + 1$ のとき

極小値は $-1$ 以上となる。4 つの共有点をもつためには、極小値より大きく、小さい方の極大値より小さければよい。 したがって、求める条件は以下のようになる。

$$-a + \frac{\pi}{2} < b < \cos a$$

(イ) $-a + \frac{\pi}{2} < -1$ すなわち $\frac{\pi}{2} + 1 < a < \pi$ のとき

極小値は $-1$ より小さくなる。このとき、$b = -1$ とすると、端点 $t = -\pi, \pi$ で $f(t) = -1$ を満たし、さらに区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ および $(\frac{\pi}{2}, a)$ においてもそれぞれ 1 つずつ解をもつため、合計 4 つの共有点をもつ。 一方、$b < -1$ のときは区間 $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ に共有点をもたないため、共有点は最大でも 3 つとなる。 したがって、4 つの共有点をもつ条件は以下のようになる。

$$-1 \leqq b < \cos a$$

解説

接線の方程式から接点 $t$ に関する方程式を導き、その実数解の個数を調べる頻出問題である。 本問の最大のポイントは、(iii) の場合分けにおいて、端点 $t = \pm\pi$ の値がともに $-1$ で一致している点に着目できるかである。 問題文の「条件をみたすものの個数」とは「接線の本数」ではなく「接点 $t$ の個数」であるため、$b = -1$ のとき $t = -\pi$ と $t = \pi$ はそれぞれ独立した解としてカウントされる。極小値が $-1$ より小さくなる $\frac{\pi}{2} + 1 < a < \pi$ の範囲において、境界線 $b = -1$ の等号が含まれることを見落とさないように注意が必要である。

答え

求める点 $\mathrm{P}(a, b)$ の存在範囲は、座標平面上で $(a, b)$ を $(x, y)$ に置き換えると以下の不等式を満たす領域である。

$$\begin{cases} 0 < x < \frac{\pi}{2} \text{ のとき} & \cos x < y < -x + \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} < x \leqq \frac{\pi}{2} + 1 \text{ のとき} & -x + \frac{\pi}{2} < y < \cos x \\ \frac{\pi}{2} + 1 < x < \pi \text{ のとき} & -1 \leqq y < \cos x \end{cases}$$

これを図示すると、曲線 $y = \cos x$、直線 $y = -x + \frac{\pi}{2}$、直線 $y = -1$ によって囲まれた領域となる。（$x = \frac{\pi}{2}$ の部分はくびれて交差している）

境界線については、直線 $y = -1$ の $\frac{\pi}{2} + 1 < x < \pi$ の部分のみ領域に含み、それ以外の境界線上の点はすべて含まない。