数学3 接線・不等式 問題 4 解説

方針・初手

• 点 $\text{P}$ における曲線 $C$ の接線と直交し、点 $\text{P}$ を通る直線（法線）上に円の中心 $\text{Q}_1, \text{Q}_2$ があることに着目する。
• 円が $x$ 軸に接する条件から、中心の $y$ 座標の絶対値が円の半径に等しいことを用いて、中心の座標を媒介変数 $\alpha$ で表す。
• 距離や中点の座標を $\alpha$ を用いて表し、(1) は相加平均と相乗平均の大小関係から最小値を求め、(2) は $\alpha$ を消去して軌跡の方程式を導く。

解法1

(1)

曲線 $C: y = e^{-x}$ 上の点 $\text{P}(\alpha, e^{-\alpha})$ における接線を $l$、法線を $n$ とする。 $\beta = e^{-\alpha} (> 0)$ とおくと、$\text{P}(\alpha, \beta)$ である。 $y' = -e^{-x}$ より、点 $\text{P}$ における接線 $l$ の傾きは $-e^{-\alpha} = -\beta$ である。 したがって、法線 $n$ の傾きは $\frac{1}{\beta}$ となり、その方程式は

$$y - \beta = \frac{1}{\beta}(x - \alpha)$$

$$x - \alpha = \beta(y - \beta)$$

と表される。 円 $S_1, S_2$ は点 $\text{P}$ で $C$ と共通の接線 $l$ をもつから、それぞれの中心 $\text{Q}_1, \text{Q}_2$ は法線 $n$ 上にある。 中心 $\text{Q}$ の座標を $(X, Y)$ とおくと、$x = X, y = Y$ は $n$ の方程式を満たすから

$$X - \alpha = \beta(Y - \beta)$$

が成り立つ。 さらに、円は $x$ 軸に接するため、円の半径は中心の $y$ 座標の絶対値 $|Y|$ に等しい。 円は点 $\text{P}$ を通ることから、中心 $\text{Q}$ と点 $\text{P}$ の距離の2乗は円の半径の2乗 $Y^2$ に等しい。 したがって、

$$(X - \alpha)^2 + (Y - \beta)^2 = Y^2$$

が成り立つ。これに $X - \alpha = \beta(Y - \beta)$ を代入すると

$$\{\beta(Y - \beta)\}^2 + (Y - \beta)^2 = Y^2$$

$$(\beta^2 + 1)(Y - \beta)^2 = Y^2$$

$$(\beta^2 + 1)(Y^2 - 2\beta Y + \beta^2) = Y^2$$

$$\beta^2 Y^2 - 2\beta(\beta^2 + 1)Y + \beta^2(\beta^2 + 1) = 0$$

$\beta > 0$ より $\beta^2 \neq 0$ であるから、両辺を $\beta^2$ で割って

$$Y^2 - 2\frac{\beta^2 + 1}{\beta}Y + \beta^2 + 1 = 0$$

この $Y$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$\frac{D}{4} = \left(\frac{\beta^2 + 1}{\beta}\right)^2 - (\beta^2 + 1) = \frac{(\beta^2 + 1)^2 - \beta^2(\beta^2 + 1)}{\beta^2} = \frac{\beta^2 + 1}{\beta^2} > 0$$

となり、常に異なる2つの実数解をもつ。これらの解を $Y_1, Y_2$ とすると、これらが $\text{Q}_1, \text{Q}_2$ の $y$ 座標となる。 解の公式より

$$Y = \frac{\beta^2 + 1 \pm \sqrt{\beta^2 + 1}}{\beta}$$

であるから

$$|Y_1 - Y_2| = \frac{2\sqrt{\beta^2 + 1}}{\beta}$$

2点 $\text{Q}_1(X_1, Y_1), \text{Q}_2(X_2, Y_2)$ は傾き $\frac{1}{\beta}$ の直線 $n$ 上にあるため、$\text{Q}_1, \text{Q}_2$ 間の距離は

$$\text{Q}_1\text{Q}_2 = \sqrt{1 + \beta^2} |Y_1 - Y_2| = \sqrt{1 + \beta^2} \frac{2\sqrt{\beta^2 + 1}}{\beta} = \frac{2(\beta^2 + 1)}{\beta} = 2\left(\beta + \frac{1}{\beta}\right)$$

$\beta > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$\beta + \frac{1}{\beta} \geqq 2\sqrt{\beta \cdot \frac{1}{\beta}} = 2$$

したがって

$$\text{Q}_1\text{Q}_2 \geqq 2 \cdot 2 = 4$$

等号が成立するのは $\beta = \frac{1}{\beta}$ すなわち $\beta = 1$ のときである。 $\beta = e^{-\alpha} = 1$ より $\alpha = 0$ のとき等号は成立する。 よって、求める最小値は $4$ である。

(2)

線分 $\text{Q}_1\text{Q}_2$ の中点 $\text{M}$ の座標を $(x, y)$ とする。 $y$ は (1) の2次方程式の2つの解 $Y_1, Y_2$ の平均であるから、解と係数の関係より

$$y = \frac{Y_1 + Y_2}{2} = \frac{\beta^2 + 1}{\beta} = \beta + \frac{1}{\beta}$$

また、$x$ 座標についても、点 $\text{Q}$ が法線 $n$ 上にある関係式 $X = \alpha - \beta^2 + \beta Y$ より

$$x = \frac{X_1 + X_2}{2} = \frac{(\alpha - \beta^2 + \beta Y_1) + (\alpha - \beta^2 + \beta Y_2)}{2} = \alpha - \beta^2 + \beta \frac{Y_1 + Y_2}{2}$$

$$x = \alpha - \beta^2 + \beta y$$

これに $y = \frac{\beta^2 + 1}{\beta}$ を代入すると

$$x = \alpha - \beta^2 + \beta \cdot \frac{\beta^2 + 1}{\beta} = \alpha - \beta^2 + \beta^2 + 1 = \alpha + 1$$

したがって、$\alpha = x - 1$ となる。 $\beta = e^{-\alpha}$ であるから、これを $y$ の式に代入して

$$y = e^{-\alpha} + e^{\alpha} = e^{-(x - 1)} + e^{x - 1}$$

これが求める点 $\text{M}$ のえがく曲線の方程式である。

解説

• 2つの曲線（または曲線と円）が接する条件は、「共有点をもつこと」と「その点での接線が一致すること」である。円の中心が接点の法線上にあることを利用して中心の座標を定式化するのが定石である。
• 円が座標軸に接する条件（今回は $x$ 軸に接するため、半径 $= |$ 中心 の $y$ 座標 $|$）を正しく式に反映できるかがポイントとなる。
• (1) で現れる $\beta + \frac{1}{\beta}$ の最小値を求めるにあたり、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのは極めて典型的な処理である。等号成立条件の確認を忘れないこと。
• (2) の軌跡の問題では、中点の座標を解と係数の関係を利用して直接求めることで、計算を大幅に省略できる。

答え

(1)

$4$

(2)

$y = e^{x-1} + e^{-x+1}$