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数学3 接線・不等式問題 5 解説

方針・初手

(1)は、微分法の平均値の定理を利用するか、三角関数の和積の公式を用いて基本的な不等式 $|\sin \theta| \leqq |\theta|$ に帰着させる。
(2)は絶対値を含む不等式であるため、$-h^2 \leqq \cos(x+h) - \cos x + h\sin x \leqq h^2$ を示すことに帰着させる。(1)で得られた不等式を利用して、新たに設定した関数の増減を微分を用いて調べるか、定積分を用いて評価する方針をとる。

解法1

(1) $h=0$ のとき、左辺と右辺はともに $0$ となり成立する。

$h \neq 0$ のとき、関数 $f(t) = \sin t$ はすべての実数で微分可能であり、$f'(t) = \cos t$ である。区間 $[x, x+h]$ （$h>0$ のとき）または $[x+h, x]$ （$h<0$ のとき）において平均値の定理を用いると、

$$\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \cos c$$

を満たす実数 $c$ が $x$ と $x+h$ の間に存在する。任意の実数 $c$ に対して $|\cos c| \leqq 1$ であるから、

$$\left| \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} \right| \leqq 1$$

両辺に $|h| (>0)$ を掛けて、

$$|\sin(x+h) - \sin x| \leqq |h|$$

となり、$h \neq 0$ のときも成立する。以上より、任意の実数 $x, h$ に対して (1) の不等式が成り立つ。

(2) 示すべき不等式は、

$$-h^2 \leqq \cos(x+h) - \cos x + h\sin x \leqq h^2$$

と同値である。任意の実数 $x$ を固定し、$h$ の関数 $F(h), G(h)$ を次のように定める。

$$F(h) = h^2 - (\cos(x+h) - \cos x + h\sin x)$$

$$G(h) = h^2 + (\cos(x+h) - \cos x + h\sin x)$$

(1)より、任意の実数 $h$ に対して $-|h| \leqq \sin(x+h) - \sin x \leqq |h|$ が成り立つ。

$F(h)$ を $h$ について微分すると、

$$F'(h) = 2h - (-\sin(x+h) + \sin x) = 2h + (\sin(x+h) - \sin x)$$

$G(h)$ を $h$ について微分すると、

$$G'(h) = 2h + (-\sin(x+h) + \sin x) = 2h - (\sin(x+h) - \sin x)$$

(i) $h > 0$ のとき $|h| = h$ であるから、(1)の不等式より $-h \leqq \sin(x+h) - \sin x \leqq h$ となる。したがって、

$$F'(h) \geqq 2h - h = h > 0$$

$$G'(h) \geqq 2h - h = h > 0$$

よって、$h \geqq 0$ の区間において $F(h)$ と $G(h)$ は単調に増加する。

(ii) $h < 0$ のとき $|h| = -h$ であるから、(1)の不等式より $h \leqq \sin(x+h) - \sin x \leqq -h$ となる。したがって、

$$F'(h) \leqq 2h + (-h) = h < 0$$

$$G'(h) \leqq 2h - h = h < 0$$

よって、$h \leqq 0$ の区間において $F(h)$ と $G(h)$ は単調に減少する。

(i), (ii)より、$F(h)$ と $G(h)$ はともに $h=0$ で最小値をとる。 $F(0) = 0$ および $G(0) = 0$ であるから、すべての実数 $h$ に対して $F(h) \geqq 0$ かつ $G(h) \geqq 0$ が成り立つ。これは

$$-h^2 \leqq \cos(x+h) - \cos x + h\sin x \leqq h^2$$

を意味し、すなわち

$$|\cos(x+h) - \cos x + h\sin x| \leqq h^2$$

が成り立つ。

解法2

(1) 三角関数の和積の公式より、

$$\sin(x+h) - \sin x = 2 \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \sin \frac{h}{2}$$

両辺の絶対値をとると、

$$|\sin(x+h) - \sin x| = 2 \left| \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \right| \left| \sin \frac{h}{2} \right|$$

$$2 \left| \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \right| \left| \sin \frac{h}{2} \right| \leqq 2 \cdot 1 \cdot \left| \frac{h}{2} \right| = |h|$$

よって、任意の実数 $x, h$ に対して $|\sin(x+h) - \sin x| \leqq |h|$ が成り立つ。

(2) 関数 $f(t) = \sin(x+t) - \sin x$ を $t$ について $0$ から $h$ まで積分する。

$$\int_{0}^{h} (\sin(x+t) - \sin x) dt = \Bigl[ -\cos(x+t) - t \sin x \Bigr]_{0}^{h}$$

$$= (-\cos(x+h) - h \sin x) - (-\cos x - 0)$$

$$= -(\cos(x+h) - \cos x + h \sin x)$$

したがって、(2)の左辺は次のように表される。

$$|\cos(x+h) - \cos x + h\sin x| = \left| \int_{0}^{h} (\sin(x+t) - \sin x) dt \right|$$

定積分の絶対値の性質と、(1)の結果 $|\sin(x+t) - \sin x| \leqq |t|$ を用いて評価する。

(i) $h \geqq 0$ のとき区間 $0 \leqq t \leqq h$ において $|t| = t$ であるから、

$$\left| \int_{0}^{h} (\sin(x+t) - \sin x) dt \right| \leqq \int_{0}^{h} |\sin(x+t) - \sin x| dt \leqq \int_{0}^{h} |t| dt = \int_{0}^{h} t dt$$

$$\int_{0}^{h} t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{h} = \frac{1}{2} h^2 \leqq h^2$$

(ii) $h < 0$ のとき積分区間を $h$ から $0$ に直し、区間 $h \leqq t \leqq 0$ において $|t| = -t$ であることを用いる。

$$\left| \int_{0}^{h} (\sin(x+t) - \sin x) dt \right| = \left| -\int_{h}^{0} (\sin(x+t) - \sin x) dt \right| \leqq \int_{h}^{0} |\sin(x+t) - \sin x| dt$$

$$\int_{h}^{0} |\sin(x+t) - \sin x| dt \leqq \int_{h}^{0} |t| dt = \int_{h}^{0} (-t) dt = \left[ -\frac{1}{2} t^2 \right]_{h}^{0} = \frac{1}{2} h^2 \leqq h^2$$

(i), (ii)より、任意の実数 $h$ に対して

$$|\cos(x+h) - \cos x + h\sin x| \leqq h^2$$

が成り立つ。

解説

(1) は平均値の定理の典型的な応用例である。解法2のように、和積の公式を利用して基本不等式に帰着させる手法も簡明でよく用いられる。
(2) は (1) を利用する誘導問題となっている。(1)の式から(2)の式を導くには、関数を設定して微分するか、積分を用いるかの2つの代表的な方針がある。
微分を用いる場合、絶対値のままでは扱いにくいため、絶対値を外した $-h^2 \leqq (\text{中身}) \leqq h^2$ の形に同値変形してから関数の増減を調べるのが定石である。
積分を用いる場合、定積分の絶対値に関する不等式 $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leqq \left| \int_a^b |f(x)| dx \right|$ を利用すると見通しが良い。積分区間の上下関係（$h$ の正負）による場合分けを忘れないように注意する必要がある。