数学3 接線・不等式 問題 7 解説

方針・初手

• 曲線上の2点 P, Q を表すパラメータをそれぞれ $\alpha, \beta$ とおく。
• $\theta$ における接線の傾きを $\theta$ を用いて表す。
• P, Q での接線が直交するという条件から、$\alpha$ と $\beta$ の関係式を導く。
• 線分 PQ の中点の座標を $\alpha, \beta$ で表し、関係式を用いて変数を消去して軌跡の方程式を求める。

解法1

曲線上の相異なる2点 P, Q に対応するパラメータをそれぞれ $\alpha, \beta$ とおく。 対称性から $0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi$ としてよい。

$x = \theta - \sin \theta$, $y = 1 - \cos \theta$ を $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dx}{d\theta} = 1 - \cos \theta, \quad \frac{dy}{d\theta} = \sin \theta$$

である。

(i) $0 < \theta < 2\pi$ のとき $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$ であるから、接線の傾き $m(\theta)$ は、

$$m(\theta) = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$$

半角の公式を用いて変形すると、

$$m(\theta) = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$$

となる。

(ii) $\theta = 0, 2\pi$ のとき $\theta \to +0$ および $\theta \to 2\pi - 0$ の極限を考えると、$m(\theta) \to \pm \infty$ となる。 したがって、$\theta = 0, 2\pi$ における接線は $y$ 軸に平行な直線（$x = 0, x = 2\pi$）である。

次に、2点 P, Q での接線が直交する条件を考える。

(ア) 一方の接線が $y$ 軸に平行な場合 $\alpha = 0$ のとき、P での接線は $y$ 軸に平行である。直交条件より Q での接線は $x$ 軸に平行（傾き $0$）となる。 $m(\beta) = 0$ すなわち $\cos \frac{\beta}{2} = 0$ であり、$0 < \beta \leqq 2\pi$ より $\beta = \pi$ である。 同様に、$\beta = 2\pi$ のとき、Q での接線は $y$ 軸に平行であり、P での接線が $x$ 軸に平行となるので $\alpha = \pi$ である。

(イ) どちらの接線も $y$ 軸に平行でない場合 $0 < \alpha < \beta < 2\pi$ であり、傾きの積が $-1$ となるから、

$$m(\alpha) m(\beta) = -1$$

$$\frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} = -1$$

分母を払って整理すると、

$$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 0$$

加法定理より、

$$\cos \left( \frac{\beta - \alpha}{2} \right) = 0$$

$0 < \alpha < \beta < 2\pi$ より $0 < \frac{\beta - \alpha}{2} < \pi$ であるから、

$$\frac{\beta - \alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$$

$$\beta - \alpha = \pi$$

となる。

(ア), (イ) のいずれの場合も、$\beta = \alpha + \pi$ が成り立つ。 $0 \leqq \beta \leqq 2\pi$ であるから、$\alpha$ のとり得る値の範囲は $0 \leqq \alpha \leqq \pi$ である。

線分 PQ の中点を $M(X, Y)$ とすると、

$$\begin{aligned} X &= \frac{(\alpha - \sin \alpha) + (\beta - \sin \beta)}{2} \\ Y &= \frac{(1 - \cos \alpha) + (1 - \cos \beta)}{2} \end{aligned}$$

$\beta = \alpha + \pi$ を用いると、$\sin \beta = \sin (\alpha + \pi) = - \sin \alpha$, $\cos \beta = \cos (\alpha + \pi) = - \cos \alpha$ であるから、

$$\begin{aligned} X &= \frac{\alpha - \sin \alpha + \alpha + \pi + \sin \alpha}{2} = \alpha + \frac{\pi}{2} \\ Y &= \frac{1 - \cos \alpha + 1 + \cos \alpha}{2} = 1 \end{aligned}$$

$0 \leqq \alpha \leqq \pi$ であるから、$X = \alpha + \frac{\pi}{2}$ より、

$$\frac{\pi}{2} \leqq X \leqq \frac{3}{2}\pi$$

よって、中点 M の軌跡は、直線 $y = 1$ の $\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi$ の部分である。

解説

• 与えられた曲線はサイクロイドである。媒介変数表示された曲線の微分の基本と、三角関数の公式（半角の公式や加法定理）を組み合わせて処理する典型問題である。
• サイクロイドの尖点（$\theta = 0, 2\pi$ など）では微分係数 $\frac{dy}{dx}$ が定義されないため、極限を用いて図形的に接線を捉えるか、場合分けを行って記述する必要がある。本解答では厳密を期すため場合分けを行った。
• 変数を消去して軌跡を求める際は、消去される変数の存在条件から、残った変数（$x, y$座標）の定義域を忘れずに確認することが重要である。

答え

線分 $y = 1 \quad \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$